Что такое непрерывность?
Функция f непрерывна в точке x = a, когда совпадают три вещи:
- предел слева (значения чуть меньше a),
- предел справа (значения чуть больше a),
- само значение f(a).
Коротко: lim(x→a) f(x) = f(a). Если чего-то одного нет или оно другое, в точке a у графика разрыв (дырка или скачок).
Многочлены, sin x, cos x, eˣ и ln x (при x > 0) непрерывны везде, где они определены. Сумма, разность, произведение и частное (знаменатель не равен нулю) непрерывных функций тоже непрерывны.
Дифференцируемая значит непрерывная, но не наоборот
Если у функции есть производная в точке a, она обязательно непрерывна в a. Но |x| непрерывна в 0 и всё же не имеет там производной: у графика острый угол, а наклон слева (−1) и справа (+1) разный.
Производная и правило цепочки
Производная f′(x) — это наклон касательной в точке x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Правило цепочки (функция внутри функции): если y = f(u) и u = g(x), то dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Пример: y = (3x + 1)⁵. Внешняя: u⁵ → 5u⁴. Внутренняя: 3x + 1 → 3. Значит, dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Производные обратных тригонометрических функций
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), при −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Почему так для tan⁻¹x: пусть y = tan⁻¹x, тогда tan y = x. Дифференцируем: sec²y · dy/dx = 1, значит, dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Совет: удачная подстановка, например x = tan θ, часто превращает громоздкое выражение в простое ещё до дифференцирования.
Неявные функции
Иногда x и y перемешаны, например x² + y² = 9 или x³ + y³ = 3xy. Выражать y не нужно. Дифференцируем каждое слагаемое по x, и каждый раз, когда дифференцируем что-то с y, умножаем на dy/dx (правило цепочки). Потом собираем слагаемые с dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Показательная и логарифмическая функции
- d/dx (eˣ) = eˣ — наклон равен высоте.
- d/dx (ln x) = 1/x, при x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
С правилом цепочки: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Логарифмическое дифференцирование
Используем, когда в показателе степени есть x (например, xˣ или (sin x)^x) или когда нужно продифференцировать длинное произведение или дробь.
- Берём ln от обеих частей: ln y = x ln x.
- Дифференцируем: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Умножаем на y: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Функции, заданные параметрически
Иногда и x, и y зависят от третьей переменной t (параметра), например x = t², y = 2t. Тогда
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), если dx/dt ≠ 0.
Для окружности x = r cos t, y = r sin t: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Вторая производная
Дифференцируем ещё раз: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), записывают также f″(x) или y₂.
Она показывает, как меняется наклон. f″ > 0: наклон растёт, кривая изгибается вверх, как чаша. f″ < 0: изгибается вниз, как шапка.
Пример: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Для параметрического задания: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Нельзя просто делить d²y/dt² на d²x/dt².
Главные формулы и определения
- Непрерывность в точке a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Правило цепочки: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Параметрически: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Вторая производная: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Разобранные примеры
1. Непрерывна ли f(x) = 2x + 3 при x ≤ 1 и f(x) = 6 − x при x > 1 в точке x = 1?
Предел слева: 2(1) + 3 = 5. Предел справа: 6 − 1 = 5. Значение f(1) = 5. Все три равны, значит, f непрерывна в точке x = 1.
2. Найди k, при котором f(x) = kx² при x ≤ 2 и f(x) = 3 при x > 2 непрерывна в точке x = 2.
Предел слева = значение = 4k. Предел справа = 3. Для непрерывности 4k = 3, поэтому k = 3/4.
3. Найди производную y = sin(x² + 5).
Внешняя sin u → cos u; внутренняя x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Найди производную y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) при −1 < x < 1.
Пусть x = tan θ. Тогда 2x/(1 − x²) = tan 2θ, поэтому y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Найди dy/dx, если x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Значит, dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), откуда dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Найди производную y = e^(3x) · ln x.
Правило произведения: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Найди производную y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Если x = a cos t и y = a sin t, найди dy/dx и d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, поэтому dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Если y = 3e^(2x) + 2e^(−x), покажи, что y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Частые ошибки
- Забыть производную внутренней функции в правиле цепочки: d/dx sin(3x) равна 3cos(3x), а не cos(3x).
- В неявном дифференцировании писать d/dx(y²) = 2y вместо 2y·dy/dx.
- Думать, что каждая непрерывная функция дифференцируема. |x| непрерывна в 0, но там угол, поэтому производной нет.
- В параметрической второй производной делить d²y/dt² на d²x/dt². Нужно продифференцировать dy/dx по t и разделить на dx/dt.