Скорость изменения величин
Если y зависит от x, то dy/dx — скорость изменения y относительно x. В точке x = a пишем f′(a).
Если и x, и y меняются со временем t, используем правило цепочки: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Пример: радиус круга растёт на 0,5 см/с. Площадь A = πr², поэтому dA/dt = 2πr × dr/dt. При r = 4 см получаем dA/dt = 2π(4)(0,5) = 4π см²/с.
Предельные издержки и предельная выручка в экономике — тоже производные: на сколько меняются издержки или выручка при ещё одном изделии.
Возрастающие и убывающие функции
На промежутке, где f дифференцируема:
- f′(x) > 0 для всех x → f строго возрастает (график идёт вверх слева направо).
- f′(x) < 0 для всех x → f строго убывает.
- f′(x) = 0 для всех x → f постоянна.
Как найти промежутки
- Найди f′(x) и реши f′(x) = 0.
- Эти точки делят числовую ось на промежутки.
- Проверь знак f′ на каждом промежутке.
Для f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). Возрастает на (−∞, −1) и (1, ∞), убывает на (−1, 1).
Максимумы и минимумы
Локальный максимум — точка, которая выше всех соседних точек; локальный минимум — ниже всех соседних. В такой точке (если функция там гладкая) f′(c) = 0. Точки, где f′(c) = 0 или f′ не существует, называют критическими точками.
Первый признак (по первой производной)
- f′ меняется с + на − в точке c → локальный максимум.
- f′ меняется с − на + в точке c → локальный минимум.
- Знак не меняется → ни то ни другое (точка перегиба, как у x³ в нуле).
Второй признак (по второй производной)
- f′(c) = 0 и f″(c) < 0 → локальный максимум.
- f′(c) = 0 и f″(c) > 0 → локальный минимум.
- f″(c) = 0 → признак не работает; вернись к первому признаку.
Наибольшее и наименьшее значения на [a, b]
Найди все критические точки внутри [a, b], вычисли f в них и на концах a и b. Самое большое значение — наибольшее, самое маленькое — наименьшее.
Задачи из жизни
- Назови величину, которая должна быть наибольшей или наименьшей (объём, площадь, стоимость).
- Запиши её через одну переменную, используя условие задачи.
- Найди производную, приравняй к 0 и реши.
- Проверь по второй (или первой) производной, максимум это или минимум.
- Ответь на вопрос с единицами измерения.
Пример с коробкой: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). При x = 6 коробки нет, значит x = 2; V″(2) = −48 < 0, максимум равен 128 см³.
Главные формулы и определения
- Скорость изменения: dy/dx; связанные скорости dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → возрастает, f′(x) < 0 → убывает
- Критическая точка: f′(c) = 0 или f′(c) не существует
- Первый признак: + → − максимум, − → + минимум
- Второй признак: f″(c) < 0 максимум, f″(c) > 0 минимум
Разобранные примеры
1. Сторона квадрата растёт на 3 см/с. Как быстро растёт его площадь, когда сторона равна 10 см?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 см²/с.
2. Радиус шара растёт на 2 см/с. Найди скорость изменения объёма при r = 5 см.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π см³/с.
3. Стоимость изготовления x изделий равна C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Найди предельные издержки при x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Двадцать первое изделие обойдётся примерно на ₹30 дороже.
4. Найди промежутки, где f(x) = x² − 4x + 1 возрастает или убывает.
f′(x) = 2x − 4 = 0 при x = 2. При x < 2 f′ < 0 (убывает); при x > 2 f′ > 0 (возрастает).
5. Найди локальные максимумы и минимумы f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → локальный максимум f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → локальный минимум f(2) = 5.
6. Найди наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ − 3x на [0, 3].
Критическая точка внутри: x = 1 (x = −1 вне отрезка). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Наибольшее 18 при x = 3, наименьшее −2 при x = 1.
7. Два положительных числа в сумме дают 20. Найди их так, чтобы произведение было наибольшим.
Числа x и 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → максимум. Числа 10 и 10, произведение 100.
8. Периметр прямоугольника 40 м. Покажи, что его площадь наибольшая, когда он квадрат.
Стороны x и 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Обе стороны по 10 м: квадрат площадью 100 м².
Частые ошибки
- Думать, что f′(c) = 0 всегда означает максимум или минимум. У x³ в нуле наклон равен 0, но кривая продолжает расти.
- Забыть проверить концы отрезка, когда ищешь наибольшее или наименьшее значение на замкнутом промежутке.
- В текстовых задачах брать производную до того, как величина записана через одну переменную.
- Путать единицы в скоростях: если r в см, а время в с, ответ будет в см²/с или см³/с.