量の変化率
y が x に決まるとき、dy/dx は x に対する y の変化率です。x = a のときの値を f′(a) と書きます。
x も y も時間 t とともに変わるときは、合成関数の微分を使います:dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt)。
例:円の半径が毎秒 0.5 cm の速さで増えています。面積 A = πr² なので dA/dt = 2πr × dr/dt。r = 4 cm のとき dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s です。
経済の限界費用や限界収入も導関数で、あと1個作る(売る)ときの費用や収入の変化のことです。
増加関数と減少関数
f が微分できる区間では次のようになります。
- 区間内のすべての x で f′(x) > 0 → f は単調に増加(グラフは左から右へ上がる)。
- すべての x で f′(x) < 0 → f は単調に減少。
- すべての x で f′(x) = 0 → f は定数。
区間の見つけ方
- f′(x) を求めて f′(x) = 0 を解く。
- その点で数直線をいくつかの区間に分ける。
- 各区間で f′ の符号を調べる。
f(x) = x³ − 3x では f′ = 3(x − 1)(x + 1)。(−∞, −1) と (1, ∞) で増加、(−1, 1) で減少します。
極大と極小
極大は、まわりのどの点よりも高い点。極小は、まわりのどの点よりも低い点です。なめらかな関数なら、その点で f′(c) = 0 になります。f′(c) = 0 の点や f′ が存在しない点を臨界点といいます。
第1導関数テスト
- c で f′ が + から − に変わる → 極大。
- c で f′ が − から + に変わる → 極小。
- 符号が変わらない → どちらでもない(0 での x³ のような変曲点)。
第2導関数テスト
- f′(c) = 0 かつ f″(c) < 0 → 極大。
- f′(c) = 0 かつ f″(c) > 0 → 極小。
- f″(c) = 0 → このテストでは決まらないので、第1導関数テストに戻る。
[a, b] での最大値・最小値
[a, b] の内側にあるすべての臨界点を求め、それらの点と両端 a、b での f の値を計算します。いちばん大きい値が最大値、いちばん小さい値が最小値です。
身近な問題
- 最大または最小にしたい量(体積、面積、費用など)に名前をつける。
- 与えられた条件を使って、それを1つの変数で表す。
- 微分して 0 とおき、解く。
- 第2導関数(または第1導関数)テストで最大か最小かを確かめる。
- 単位をつけて答える。
箱の例:V = x(12 − 2x)²、dV/dx = 12(x − 2)(x − 6)。x = 6 では箱ができないので x = 2。V″(2) = −48 < 0 なので極大で、最大の体積は 128 cm³ です。
重要な公式と用語
- 変化率:dy/dx、関連する変化率 dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → 増加, f′(x) < 0 → 減少
- 臨界点:f′(c) = 0 または f′(c) が存在しない
- 第1導関数テスト:+ → − なら極大、− → + なら極小
- 第2導関数テスト:f″(c) < 0 なら極大、f″(c) > 0 なら極小
例題
1. 正方形の1辺が毎秒 3 cm の速さで伸びています。1辺が 10 cm のとき、面積はどれだけ速く増えていますか。
A = x²、dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s。
2. 風船の半径が毎秒 2 cm の速さで増えています。r = 5 cm のときの体積の変化率を求めなさい。
V = (4/3)πr³、dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s。
3. x 個作る費用が C(x) = 0.5x² + 10x + 100 です。x = 20 のときの限界費用を求めなさい。
C′(x) = x + 10。C′(20) = 30。21個目を作ると費用がおよそ ₹30 増えます。
4. f(x) = x² − 4x + 1 が増加する区間と減少する区間を求めなさい。
f′(x) = 2x − 4 = 0 より x = 2。x < 2 では f′ < 0(減少)、x > 2 では f′ > 0(増加)。
5. f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1 の極大値と極小値を求めなさい。
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2。f″ = 12x − 18。f″(1) = −6 < 0 → 極大 f(1) = 6。f″(2) = 6 > 0 → 極小 f(2) = 5。
6. [0, 3] で f(x) = x³ − 3x の最大値と最小値を求めなさい。
区間の内側の臨界点は x = 1(x = −1 は区間の外)。f(0) = 0、f(1) = −2、f(3) = 18。最大値は x = 3 のとき 18、最小値は x = 1 のとき −2。
7. 和が 20 になる2つの正の数で、積が最大になるものを求めなさい。
数を x と 20 − x とする。P = 20x − x²。P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10。P″ = −2 < 0 → 最大。数は 10 と 10、積は 100。
8. 周の長さが 40 m の長方形の面積は、正方形のとき最大になることを示しなさい。
辺を x と 20 − x とすると A = 20x − x²、A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10、A″ = −2 < 0。2辺とも 10 m、つまり面積 100 m² の正方形。
よくある間違い
- f′(c) = 0 なら必ず極大か極小だと思ってしまう。0 での x³ は傾きが 0 でも、曲線はそのまま上がり続けます。
- 閉区間で最大値・最小値を求めるとき、両端の値を調べ忘れる。
- 文章題で、量を1つの変数で表す前に微分してしまう。
- 変化率の単位を混ぜる。r が cm、時間が s なら、答えは cm²/s や cm³/s になります。