連続性とは?
関数 f が x = a で連続であるとは、次の3つが一致することです。
- 左側極限(a より少し小さい値から近づいたときの値)
- 右側極限(a より少し大きい値から近づいたときの値)
- 実際の値 f(a)
まとめると lim(x→a) f(x) = f(a) です。どれか1つでも存在しない、または違う値だと、a でグラフは切れています(穴や飛びがあります)。
多項式、sin x、cos x、eˣ、ln x(x > 0)は、定義されている所ならどこでも連続です。連続な関数どうしの和・差・積・商(分母が 0 でないとき)も連続です。
微分可能なら連続。逆は成り立たない
a で微分できる関数は、a で必ず連続です。しかし |x| は 0 で連続なのに、0 では微分できません。グラフがとがった角になっていて、左の傾き(−1)と右の傾き(+1)が合わないからです。
微分と合成関数の微分
導関数 f′(x) は、x での接線の傾きです。f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h。
合成関数の微分(関数の中に関数が入っているとき)：y = f(u)、u = g(x) なら、dy/dx = (dy/du) × (du/dx) です。
例：y = (3x + 1)⁵。外側：u⁵ → 5u⁴。内側：3x + 1 → 3。よって dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴ です。
逆三角関数の微分
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²)、ただし −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1))、d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
tan⁻¹x の理由：y = tan⁻¹x とおくと tan y = x。両辺を微分して sec²y · dy/dx = 1、よって dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²) です。
コツ：x = tan θ のようなうまい置き換えで、ややこしい式が微分する前に簡単になることがよくあります。
陰関数
x と y が x² + y² = 9 や x³ + y³ = 3xy のように混ざっていることがあります。y について解く必要はありません。すべての項を x で微分し、y を含むものを微分したら、そのたびに dy/dx をかけます(合成関数の微分です)。最後に dy/dx の項を集めます。
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y。
指数関数と対数関数
- d/dx (eˣ) = eˣ：傾きが高さと等しい。
- d/dx (ln x) = 1/x、ただし x > 0。
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a。
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a)。
合成関数の微分を使うと：d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x)、d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x です。
対数微分法
べき乗の部分に x があるとき(xˣ や (sin x)^x など)や、長い積・商のときに使います。
- 両辺の ln をとる：ln y = x ln x。
- 微分する：(1/y) dy/dx = ln x + 1。
- y をかける：dy/dx = xˣ(1 + ln x)。
媒介変数表示された関数
x と y がどちらも第3の変数 t(媒介変数)で決まることがあります。たとえば x = t²、y = 2t です。このとき
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)、ただし dx/dt ≠ 0 のときです。
円 x = r cos t、y = r sin t なら：dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t です。
2階微分
もう一度微分します：d²y/dx² = d/dx (dy/dx)。f″(x) や y₂ とも書きます。
傾きがどう変わるかを表します。f″ > 0：傾きが増えていて、曲線はお椀のように上に曲がります。f″ < 0：ふたのように下に曲がります。
例：y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x。
媒介変数表示のとき：d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt)。d²y/dt² を d²x/dt² で割るだけ、というのはまちがいです。
重要な公式と用語
- a での連続: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- 合成関数の微分: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- 媒介変数表示: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- 2階微分: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
例題
1. x ≤ 1 のとき f(x) = 2x + 3、x > 1 のとき f(x) = 6 − x という関数は、x = 1 で連続ですか?
左側極限：2(1) + 3 = 5。右側極限：6 − 1 = 5。値 f(1) = 5。3つとも等しいので、f は x = 1 で連続です。
2. x ≤ 2 のとき f(x) = kx²、x > 2 のとき f(x) = 3 という関数が x = 2 で連続になるように k を求めなさい。
左側極限 = 値 = 4k。右側極限 = 3。連続であるためには 4k = 3 なので、k = 3/4 です。
3. y = sin(x² + 5) を微分しなさい。
外側 sin u → cos u、内側 x² + 5 → 2x。dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5)。
4. −1 < x < 1 で、y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) を微分しなさい。
x = tan θ とおく。すると 2x/(1 − x²) = tan 2θ なので、y = 2θ = 2 tan⁻¹x。dy/dx = 2/(1 + x²)。
5. x² + xy + y² = 7 のとき dy/dx を求めなさい。
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0。よって dy/dx (x + 2y) = −(2x + y)、dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y)。
6. y = e^(3x) · ln x を微分しなさい。
積の微分：dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x)。
7. y = xˣ (x > 0) を微分しなさい。
ln y = x ln x。(1/y) dy/dx = ln x + 1。dy/dx = xˣ(1 + ln x)。
8. x = a cos t、y = a sin t のとき、dy/dx と d²y/dx² を求めなさい。
dx/dt = −a sin t、dy/dt = a cos t なので dy/dx = −cot t。d/dt(−cot t) = cosec²t。d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t)。
9. y = 3e^(2x) + 2e^(−x) のとき、y″ − y′ − 2y = 0 を示しなさい。
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x)、y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x)。y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0。
よくある間違い
- 合成関数の微分で内側の微分を忘れる：d/dx sin(3x) は 3cos(3x) であって、cos(3x) ではありません。
- 陰関数の微分で、d/dx(y²) を 2y·dy/dx ではなく 2y と書いてしまう。
- 連続な関数はすべて微分可能だと思いこむ。|x| は 0 で連続ですが、角があるので 0 では微分できません。
- 媒介変数表示の2階微分で、d²y/dt² を d²x/dt² で割ってしまう。正しくは、dy/dx を t で微分してから dx/dt で割ります。