Mathsの授業

19 授業

• 2次三項式の因数分解 – x² + 5x + 6 のような2次三項式は、2つのかっこの積 (x + 2)(x + 3) の形に書けます。x² + bx + c のときは、かけて c、たして b になる2つの数を見つけます。ax² + bx + c のときは、かけて a × c、たして b になる2つの数を見つけ、真ん中の項を分けて、共通因数でくくります。最後は必ず展開して確かめましょう。
• パラメータを含む方程式と不等式 – パラメータとは、aのような文字で、決まった1つの数を表しますが、その値はまだ分かりません。「aがいくつのとき、方程式の解は0個、1個、2個、それ以上になるか」を考えます。グラフ解法では、方程式をf(x) = aの形に書き、曲線y = f(x)の上で水平な直線y = aを上下にスライドさせます。
• 円錐曲線:円・放物線・楕円・双曲線 – 2つの円錐を頂点でつないだ形を平面で切ると、円・楕円・放物線・双曲線ができます。頂点を通る平面で切ると、点・直線・2直線(退化した円錐曲線)になります。円:(x − h)² + (y − k)² = r²。放物線 y² = 4ax:焦点 (a, 0)、準線 x = −a、通径 4a、e = 1。楕円 x²/a² + y²/b² = 1(a > b):c² = a² − b²、焦点 (±c, 0)、e = c/a < 1、通径 2b²/a、PF₁ + PF₂ = 2a。双曲線 x²/a² − y²/b² = 1:c² = a² + b²、e = c/a > 1、通径 2b²/a、|PF₁ − PF₂| = 2a。
• 関数の調べ方:周期性・単調性・極値・区間での最大値と最小値 – 関数を調べるときは4つの質問をします。グラフはくり返すか(周期Tで f(x + T) = f(x))。どこで上がり、どこで下がるか(傾きの符号)。どこで折り返すか(傾きが0で、極大か極小)。そして選んだ区間 [a, b] で、いちばん大きい値と小さい値はどれか(両端と区間の中の折り返す点を調べる)。
• 曲線と曲面：曲線を回すと曲面になる – 曲線とは、ある決まりに従って動く点の通り道です。曲線を軸のまわりに回すと、曲面ができます。斜めの直線を回すと円錐、放物線を回すとお椀の形（放物面）、双曲線を回すと冷却塔の形（双曲面）になります。ある高さで曲面を切ると円が現れ、その半径は曲線から決まります。
• 合成関数のグラフと、方程式が表す図形 – かっこの中を変えるとグラフは左右に動き、かっこの外を変えると上下に動いたり反転したりします。|f(x)| はx軸より下の部分を上に折り返し、f(|x|) は右半分を左にコピーします。x と y の方程式も円やひし形などの図形を描きます。どの縦線も1回しか交わらないときだけ、それは関数のグラフです。
• 座標幾何：2点間の距離と内分点の公式 – 平面上のどの点にも (x, y) という住所がある。A(x₁, y₁) と B(x₂, y₂) の距離は d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] で、x方向の差とy方向の差にピタゴラスの定理を使うだけだ。線分 AB を m : n に内側で分ける点 P は P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))。m = n のとき P は中点になる。
• 指数不等式・対数不等式・無理不等式 – この3種類の不等式は、どれも「2つのグラフを比べる」という同じ考え方で解けます。指数と対数では、底によって不等号の向きが決まります(底が1より大きければそのまま、0と1の間なら逆向き)。対数と平方根では、まず条件(定義域)を確認します。さらに無理不等式では、もう一方の辺の符号にも気をつけます。
• 乗法公式(恒等式)をタイルで見てみよう – 恒等式とは、文字にどんな値を入れても成り立つ等式のことです。図で確かめられます。1辺が(a + b)の正方形は、a²、ab、ab、b²の4つに分かれるので、(a + b)² = a² + 2ab + b²。同じように、(a − b)²、a² − b² = (a + b)(a − b)、(x + a)(x + b)、(a + b + c)²、(a + b)³も作れます。公式を逆向きに使えば、因数分解、速い計算、分数式の約分に役立ちます。
• 条件付き確率・乗法定理・独立事象 – 条件付き確率とは、「Bが起こったとわかっているとき」にAが起こる確率のことです。Bの外の結果はすべて捨てて、数え直します。式は P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)。この式を変形すると乗法定理 P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) になります。Bを知ってもAの確率が変わらないとき、2つの事象は独立で、P(A ∩ B) = P(A)·P(B) が成り立ちます。
• 絶対値と区間 – 絶対値|x|は、数直線上でxが0からどれだけ離れているかという距離です。だから負にはなりません。|x - a|はxとaの間の距離です。|x - a| = bを解くと x = a + b または x = a - b になります。区間は数直線の一続きの部分で、丸括弧(端を含まない)か角括弧(端を含む)で書きます。
• 発展数学：三角関数・微分積分・図形・確率 – 高校の発展数学には大きく3つの柱があります。三角関数と微分積分は、波と変化を調べます。円から生まれる sin θ、傾きとしての微分、面積としての積分です。図形は形や立体を調べ、たとえば円錐：球：円柱 = 1：2：3 になります。確率と統計は、サイコロから釣鐘型の曲線まで、偶然とデータを測ります。
• 微分の応用 – 導関数は、ある量が別の量に比べてどれだけ速く変わるかを表します。その符号で関数が上がるか(f′ > 0、増加)下がるか(f′ < 0、減少)が分かります。f′ = 0 のところは接線が水平で、極大か極小になっているかもしれません。これを符号の変化で調べるのが第1導関数テスト、f″ の符号で調べるのが第2導関数テストです。これを使うと、いちばん大きい箱やいちばん安いタンクのような身近な問題が解けます。
• 複素数と2次方程式 – x² + 1 = 0 のような方程式には実数の解がありません。実数は2乗すると負になることがないからです。そこで、i² = −1 となる新しい数 i を考えます。複素数は z = a + bi と書き、a を実部、b を虚部といいます。足し算・引き算・掛け算は文字式と同じように行い、i² は −1 に置き換えます。割り算は、分母の共役複素数を分子と分母に掛けます。ガウス平面では z = a + bi は点 (a, b) です。共役複素数 a − bi は実軸に関する鏡像で、絶対値 √(a² + b²) は原点からの距離です。D = b² − 4ac < 0 の2次方程式 ax² + bx + c = 0 には、たがいに共役な2つの複素数の解があります。
• 文字式：文字・項・式の整理 – 文字式は、文字（変数）と数を +、−、×、÷ でつないだ式です。たとえば 3x + 2。変数は、変わることのある数を表す文字です。式は項（3x と 2）に分かれます。3x の 3 は係数、2 のように文字のない項は定数項です。文字の部分がまったく同じ項（3x と 5x）を同類項といい、まとめて計算できます。同類項でない項（3x と 2、x と x²）はまとめられません。代入とは、文字に数を入れて式の値を求めることです。展開はかっこをはずすこと：a(b + c) = ab + ac。因数分解はその逆で、共通の因数をかっこの外に出します。公式は、ほかの量から1つの量を求める式で、恒等式は文字がどんな値でも成り立つ式です。
• 文章題を代数で解こう – 文章題は、数が1つ隠れているお話です。代数での解き方は4ステップ。わからない数を文字でおく、お話を方程式にする、方程式を解く、答えがお話に合うか確かめる。この4ステップは、数、年齢、速さ、仕事、図形の問題に使えます。未知数が2つの問題や、二次方程式になる問題でも同じです。
• 立体の面・辺・頂点、展開図と見取り図 – 立体(3D図形)には、たて・よこ・高さがあるので、場所をとります。立体は、面(平らな面や曲がった面)、辺(2つの面が出会う線)、頂点(かど)の数で表します。角柱は、同じ形の2つの底面を長方形でつないだ形です。角錐は、1つの底面と、てっぺんの点に集まる三角形でできています。円柱・円錐・球には曲がった面があります。展開図は、立体を切り開いて平らにした図で、折ると立体にもどります。立体を上・前・横から見て描くと、3つの見取り図(投影図)ができます。平らな面だけの立体では、面の数 + 頂点の数 − 辺の数 = 2 になります(オイラーの公式)。
• 連続性と微分可能性 – 関数がある点で連続とは、その点でグラフがつながっていることです。左からの極限、右からの極限、関数の値の3つがすべて等しくなります。微分とは接線の傾きのことです。合成関数の微分、陰関数の微分、eˣ・ln x・逆三角関数の公式、対数微分法、媒介変数表示を使えば、高校で出てくるほとんどの関数を微分できます。2階微分は、傾きそのものがどう変わるか、つまり曲線がどう曲がるかを教えてくれます。
• 連立方程式と同値な連立方程式 – 連立方程式とは、すべてが同時に成り立つ必要がある方程式のグループです。2つの連立方程式の解がまったく同じとき、それらは同値といいます。式を入れ替える、0でない数を1つの式にかける、ある式の何倍かを別の式に足す。この3つの操作では同値のままなので、答えを失わずに式を簡単にできます。