連立方程式とは?
連立方程式とは、同じ未知数をもつ方程式の集まりです。解は、すべての方程式を同時に成り立たせなければなりません。2本の直線なら、解は直線が交わる点です。2本の直線は、1点で交わる(解が1つ)、平行で交わらない(解なし)、同じ直線(解が無数)のどれかになります。
例:x + y = 5 と x − y = 1。(3, 2) を試すと、3 + 2 = 5 と 3 − 2 = 1 で、どちらも成り立ちます。だから (3, 2) が解です。
同値とはどういう意味?
2つの連立方程式の解の集まりがまったく同じとき、それらは同値です。1つ多いことも、1つ足りないこともありません。見た目はまったく違っていてもかまいません。たとえば {x + y = 5, x − y = 1} と {x = 3, y = 2} は、どちらも解が (3, 2) だけなので同値です。
難しい連立方程式を、同値な簡単なものに変えます。そうすれば、見つけた答えは難しい方にもそのまま当てはまります。
安全な操作(同値変形)
- 2つの式を入れ替える。式の順番は関係ありません。
- 1つの式に0でない数をかける。直線上の点はすべて直線上に残ります。
- ある式の何倍かを別の式に足す。もとの交点は両方の式を成り立たせるので、足した式も成り立たせます。
安全でない操作:0をかける(式が 0 = 0 になって何も語らなくなる)、式の片側だけを変える。両辺を2乗すると偽の答えが増えることもあるので、最後に必ず確かめます。
加減法で解く
加減法は、安全な操作をつないで未知数を1つ消す方法です。
- 連立方程式を書く。例:2x + 3y = 12 と 4x − y = 10。
- 2つ目の式を3倍する:12x − 3y = 30。
- 1つ目の式に足す:14x = 42、よって x = 3。
- x = 3 を 4x − y = 10 に代入する:12 − y = 10、よって y = 2。
- もとの2つの式で確かめる。
新しい連立方程式はどれも直前のものと同値です。だから (3, 2) は最初の連立方程式の答えでもあります。
やってみよう
予想してから確かめよう:3Dの自由操作でスライダー k を動かします。動かす前に、交点がどうなるか予想しましょう。次に、青い直線が垂直になる k を探します。最後に「0をかける」ボタンを押して、なぜ安全でない操作なのかを見てみましょう。
重要な公式と用語
- 連立方程式:すべての方程式が同時に成り立つ
- 同値な連立方程式:解の集まりが同じ
- 新しい式2 =(式2)+ k ×(式1)
- c ≠ 0 のときだけ c をかける
- 加減法:ある未知数の係数を逆の符号にそろえてから足す
例題
1. x + y = 7 と x − y = 1 を解きなさい。
2つの式を足す:2x = 8、よって x = 4。次に y = 7 − 4 = 3。確かめ:4 + 3 = 7、4 − 3 = 1。解は (4, 3)。
2. 3x + y = 10 と x + y = 4 を解きなさい。
1つ目から2つ目を引く:2x = 6、よって x = 3。次に y = 4 − 3 = 1。確かめ:9 + 1 = 10、3 + 1 = 4。解は (3, 1)。
3. {x + y = 5, x − y = 1} が {x = 3, x + y = 5} と同値であることを示しなさい。
もとの2つの式を足すと 2x = 6、よって x = 3。x + y = 5 はそのまま残す。新しい連立方程式は安全な操作で得られ、解は x = 3、y = 2。どちらの連立方程式も解は (3, 2) だけ。
4. 2x + 3y = 12 と 4x − y = 10 を解きなさい。
2つ目の式を3倍する:12x − 3y = 30。1つ目に足す:14x = 42、よって x = 3。次に 4(3) − y = 10 から y = 2。解は (3, 2)。
5. 連立方程式 x + y = 5、x − y = 1 で、式2を(式2)+ 2 ×(式1)に置きかえる。新しい式を書き、もとの解を確かめなさい。
新しい式:(x − y) + 2(x + y) = 1 + 10、よって 3x + y = 11。(3, 2) を確かめる:9 + 2 = 11。成り立つので、解は残っている。
よくある間違い
- 方程式の片側だけに数をかけてしまう。
- 方程式に0をかける。0 = 0 になって情報が失われる。
- 式を足すときに、右辺どうしを足し忘れる。
- とくに2乗したあと、もとの連立方程式で答えを確かめない。