Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système est un ensemble d'équations avec les mêmes inconnues. Une solution doit rendre chaque équation vraie en même temps. Pour deux droites, la solution est le point où les droites se coupent. Deux droites peuvent se couper en un point (une solution), ne jamais se rencontrer car elles sont parallèles (aucune solution), ou être la même droite (une infinité de solutions).
Exemple : x + y = 5 et x − y = 1. Essayons (3, 2) : 3 + 2 = 5 et 3 − 2 = 1. Les deux sont vraies, donc (3, 2) est la solution.
Que veut dire équivalent ?
Deux systèmes sont équivalents s'ils ont exactement le même ensemble de solutions. Pas une de plus, pas une de moins. Ils peuvent avoir l'air très différents. Par exemple, {x + y = 5, x − y = 1} et {x = 3, y = 2} sont équivalents, car les deux n'ont que la solution (3, 2).
On transforme un système difficile en un système équivalent facile, pour que la réponse trouvée soit aussi juste pour le système difficile.
Les opérations sûres (transformations équivalentes)
- Échanger deux équations. L'ordre n'a pas d'importance.
- Multiplier une équation par un nombre différent de zéro. Chaque point de la droite reste sur la droite.
- Ajouter un multiple d'une équation à une autre. L'ancien point d'intersection rend les deux équations vraies, donc il rend aussi la somme vraie.
Opérations dangereuses : multiplier par 0 (l'équation devient 0 = 0 et ne dit plus rien), ou changer un seul côté d'une équation. Élever les deux côtés au carré peut aussi ajouter de fausses réponses, il faut donc vérifier à la fin.
Résoudre par combinaison (élimination)
La combinaison est une chaîne d'opérations sûres qui fait disparaître une inconnue.
- Écris le système. Exemple : 2x + 3y = 12 et 4x − y = 10.
- Multiplie la deuxième équation par 3 : 12x − 3y = 30.
- Ajoute-la à la première : 14x = 42, donc x = 3.
- Remplace x = 3 dans 4x − y = 10 : 12 − y = 10, donc y = 2.
- Vérifie dans les deux équations de départ.
Chaque nouveau système est équivalent au précédent, donc (3, 2) est aussi la réponse du premier.
À toi d'essayer
Prédis, puis vérifie : dans le jeu libre en 3D, déplace le curseur k. Avant de le bouger, dis ce que tu penses qu'il arrivera au point d'intersection. Ensuite, trouve le k qui rend la droite bleue verticale. Puis appuie sur le bouton multiplier par 0 et vois pourquoi ce n'est pas une opération sûre.
Formules et définitions clés
- Système : toutes les équations vraies ensemble
- Systèmes équivalents : même ensemble de solutions
- Nouvelle équation 2 = (équation 2) + k × (équation 1)
- Multiplier par c seulement si c ≠ 0
- Combinaison : rendre opposés les coefficients d'une inconnue, puis additionner
Exemples résolus
1. Résous x + y = 7 et x − y = 1.
Additionne les équations : 2x = 8, donc x = 4. Puis y = 7 − 4 = 3. Vérification : 4 + 3 = 7 et 4 − 3 = 1. Solution (4, 3).
2. Résous 3x + y = 10 et x + y = 4.
Soustrais la deuxième de la première : 2x = 6, donc x = 3. Puis y = 4 − 3 = 1. Vérification : 9 + 1 = 10 et 3 + 1 = 4. Solution (3, 1).
3. Montre que {x + y = 5, x − y = 1} est équivalent à {x = 3, x + y = 5}.
Additionne les deux équations de départ pour obtenir 2x = 6, donc x = 3. Garde x + y = 5. Le nouveau système vient d'opérations sûres, et sa solution est x = 3, y = 2. Les deux systèmes n'ont que (3, 2).
4. Résous 2x + 3y = 12 et 4x − y = 10.
Multiplie la deuxième équation par 3 : 12x − 3y = 30. Ajoute à la première : 14x = 42, donc x = 3. Puis 4(3) − y = 10 donne y = 2. Solution (3, 2).
5. Dans le système x + y = 5, x − y = 1, remplace l'équation 2 par (équation 2) + 2 × (équation 1). Écris la nouvelle équation et vérifie l'ancienne solution.
Nouvelle équation : (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, donc 3x + y = 11. Vérification de (3, 2) : 9 + 2 = 11. C'est vrai, donc la solution survit.
Erreurs fréquentes
- Multiplier un seul côté d'une équation par un nombre.
- Multiplier une équation par 0. Elle devient 0 = 0 et l'information est perdue.
- Additionner les équations mais oublier d'additionner aussi les membres de droite.
- Ne pas vérifier la réponse dans le système de départ, surtout après un passage au carré.