Что такое система уравнений?
Система — это набор уравнений с одними и теми же неизвестными. Решение должно делать каждое уравнение верным одновременно. Для двух прямых решение — это точка, где они пересекаются. Две прямые могут пересечься в одной точке (одно решение), никогда не встретиться, потому что они параллельны (решений нет), или совпасть (решений бесконечно много).
Пример: x + y = 5 и x − y = 1. Проверим (3, 2): 3 + 2 = 5 и 3 − 2 = 1. Оба равенства верны, значит, (3, 2) — решение.
Что значит «равносильные»?
Две системы равносильны, если у них в точности один и тот же набор решений. Ни одного лишнего и ни одного потерянного. Выглядеть они могут совсем по-разному. Например, {x + y = 5, x − y = 1} и {x = 3, y = 2} равносильны, потому что у обеих единственное решение (3, 2).
Мы превращаем трудную систему в равносильную лёгкую, и найденный ответ подходит и для трудной.
Безопасные ходы (равносильные преобразования)
- Поменять местами два уравнения. Порядок не важен.
- Умножить одно уравнение на число, не равное нулю. Все точки прямой остаются на прямой.
- Прибавить к одному уравнению другое, умноженное на число. Старая точка пересечения делает верными оба уравнения, значит, делает верной и сумму.
Небезопасные ходы: умножить на 0 (уравнение превращается в 0 = 0 и ничего не говорит) или изменить только одну часть уравнения. Возведение обеих частей в квадрат тоже может добавить ложные ответы, поэтому в конце нужна проверка.
Решение методом сложения
Метод сложения — это цепочка безопасных ходов, которая убирает одно неизвестное.
- Запиши систему. Пример: 2x + 3y = 12 и 4x − y = 10.
- Умножь второе уравнение на 3: 12x − 3y = 30.
- Сложи его с первым: 14x = 42, значит, x = 3.
- Подставь x = 3 в 4x − y = 10: 12 − y = 10, значит, y = 2.
- Проверь в обоих исходных уравнениях.
Каждая новая система равносильна предыдущей, поэтому (3, 2) — ответ и для первой системы.
Попробуй сам
Сначала предскажи, потом проверь: в свободной игре 3D двигай ползунок k. Прежде чем двигать, скажи, что, по-твоему, случится с точкой пересечения. Потом найди такое k, при котором синяя прямая станет вертикальной. Затем нажми кнопку «умножить на 0» и посмотри, почему этот ход небезопасен.
Главные формулы и определения
- Система: все уравнения верны одновременно
- Равносильные системы: одинаковый набор решений
- Новое уравнение 2 = (уравнение 2) + k × (уравнение 1)
- Умножать на c можно, только если c ≠ 0
- Метод сложения: сделай коэффициенты одного неизвестного противоположными, затем сложи
Разобранные примеры
1. Реши систему x + y = 7 и x − y = 1.
Сложим уравнения: 2x = 8, значит, x = 4. Тогда y = 7 − 4 = 3. Проверка: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. Решение (4, 3).
2. Реши систему 3x + y = 10 и x + y = 4.
Вычтем второе уравнение из первого: 2x = 6, значит, x = 3. Тогда y = 4 − 3 = 1. Проверка: 9 + 1 = 10 и 3 + 1 = 4. Решение (3, 1).
3. Покажи, что {x + y = 5, x − y = 1} равносильна {x = 3, x + y = 5}.
Сложим два исходных уравнения: 2x = 6, значит, x = 3. Уравнение x + y = 5 оставим. Новая система получена безопасными ходами, и её решение x = 3, y = 2. У обеих систем единственное решение (3, 2).
4. Реши систему 2x + 3y = 12 и 4x − y = 10.
Умножим второе уравнение на 3: 12x − 3y = 30. Сложим с первым: 14x = 42, значит, x = 3. Тогда 4(3) − y = 10 даёт y = 2. Решение (3, 2).
5. В системе x + y = 5, x − y = 1 замени уравнение 2 на (уравнение 2) + 2 × (уравнение 1). Запиши новое уравнение и проверь старое решение.
Новое уравнение: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, то есть 3x + y = 11. Проверим (3, 2): 9 + 2 = 11. Верно, значит, решение сохранилось.
Частые ошибки
- Умножать на число только одну часть уравнения.
- Умножать уравнение на 0. Оно превращается в 0 = 0, и информация теряется.
- Складывать уравнения, но забывать сложить и правые части.
- Не проверять ответ в исходной системе, особенно после возведения в квадрат.