O que é um sistema de equações?
Um sistema é um conjunto de equações com as mesmas incógnitas. Uma solução precisa tornar todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo. Para duas retas, a solução é o ponto em que elas se cruzam. Duas retas podem se cruzar em um ponto (uma solução), nunca se encontrar por serem paralelas (nenhuma solução) ou ser a mesma reta (infinitas soluções).
Exemplo: x + y = 5 e x − y = 1. Teste (3, 2): 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1. As duas são verdadeiras, então (3, 2) é a solução.
O que quer dizer equivalente?
Dois sistemas são equivalentes se têm exatamente o mesmo conjunto de soluções. Nenhuma a mais, nenhuma a menos. Eles podem parecer muito diferentes. Por exemplo, {x + y = 5, x − y = 1} e {x = 3, y = 2} são equivalentes, porque os dois têm só a solução (3, 2).
Transformamos um sistema difícil em um equivalente fácil, para que a resposta que achamos também valha para o difícil.
Jogadas seguras (transformações equivalentes)
- Trocar duas equações de lugar. A ordem não importa.
- Multiplicar uma equação por um número diferente de zero. Todo ponto da reta continua na reta.
- Somar um múltiplo de uma equação a outra. O antigo ponto de encontro torna as duas equações verdadeiras, então também torna a soma verdadeira.
Jogadas inseguras: multiplicar por 0 (a equação vira 0 = 0 e não diz nada) ou mudar só um lado de uma equação. Elevar os dois lados ao quadrado também pode criar respostas falsas, então é preciso conferir no final.
Resolvendo por eliminação
Eliminação é uma sequência de jogadas seguras que tira uma incógnita do caminho.
- Escreva o sistema. Exemplo: 2x + 3y = 12 e 4x − y = 10.
- Multiplique a segunda equação por 3: 12x − 3y = 30.
- Some com a primeira: 14x = 42, então x = 3.
- Coloque x = 3 em 4x − y = 10: 12 − y = 10, então y = 2.
- Confira nas duas equações originais.
Cada novo sistema é equivalente ao anterior, então (3, 2) também é a resposta do primeiro.
Experimente
Preveja e depois confira: no modo livre do 3D, mexa no controle k. Antes de mexer, diga o que você acha que vai acontecer com o ponto de encontro. Depois ache o k que deixa a reta azul vertical. Em seguida, aperte o botão de multiplicar por 0 e veja por que essa jogada não é segura.
Fórmulas e definições principais
- Sistema: todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo
- Sistemas equivalentes: mesmo conjunto de soluções
- Nova equação 2 = (equação 2) + k × (equação 1)
- Multiplicar por c só se c ≠ 0
- Eliminação: deixe os coeficientes de uma incógnita opostos e depois some
Exemplos resolvidos
1. Resolva x + y = 7 e x − y = 1.
Some as equações: 2x = 8, então x = 4. Depois y = 7 − 4 = 3. Confira: 4 + 3 = 7 e 4 − 3 = 1. Solução (4, 3).
2. Resolva 3x + y = 10 e x + y = 4.
Subtraia a segunda da primeira: 2x = 6, então x = 3. Depois y = 4 − 3 = 1. Confira: 9 + 1 = 10 e 3 + 1 = 4. Solução (3, 1).
3. Mostre que {x + y = 5, x − y = 1} é equivalente a {x = 3, x + y = 5}.
Some as duas equações originais e obtenha 2x = 6, então x = 3. Mantenha x + y = 5. O novo sistema veio de jogadas seguras e sua solução é x = 3, y = 2. Os dois sistemas têm só (3, 2).
4. Resolva 2x + 3y = 12 e 4x − y = 10.
Multiplique a segunda equação por 3: 12x − 3y = 30. Some com a primeira: 14x = 42, então x = 3. Depois 4(3) − y = 10 dá y = 2. Solução (3, 2).
5. No sistema x + y = 5, x − y = 1, troque a equação 2 por (equação 2) + 2 × (equação 1). Escreva a nova equação e confira a solução antiga.
Nova equação: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, então 3x + y = 11. Confira (3, 2): 9 + 2 = 11. É verdadeiro, então a solução continua valendo.
Erros comuns
- Multiplicar só um lado de uma equação por um número.
- Multiplicar uma equação por 0. Ela vira 0 = 0 e a informação se perde.
- Somar as equações mas esquecer de somar também os lados direitos.
- Não conferir a resposta no sistema original, principalmente depois de elevar ao quadrado.