O que é um problema com palavras?
Um problema com palavras é uma pequena história com números, e um ou mais números estão escondidos. Nossa tarefa é descobri-los.
A aritmética pode achar a resposta testando números. A álgebra é mais rápida e mais segura: damos ao número escondido uma letra (como x) e trabalhamos com ela como com qualquer outro número. A letra se chama incógnita ou variável.
Olhe a balança 3D acima. Os lápis da Mia são uma pilha azul de x blocos. O prato da esquerda tem todos os lápis, o da direita tem 13. Pratos iguais significam uma equação verdadeira.
O método algébrico em quatro passos
- Nomeie a incógnita. Escreva exatamente o que ela significa, por exemplo: seja x = o número de lápis da Mia. Não esqueça a unidade.
- Equação. Diga a história em linguagem matemática. Expressões como a mais que significam +, a menos que significam −, vezes ou o dobro significam ×, é ou total muitas vezes significam =.
- Resolva. Faça a mesma coisa nos dois lados até o x ficar sozinho.
- Confira. Coloque a resposta na história, não só na sua equação. Depois escreva a resposta em uma frase completa com a unidade.
Traduza com cuidado: 5 a mais que x é x + 5, mas 5 a menos que x é x − 5 e x a menos que 5 é 5 − x.
Tipos comuns de problemas
Problemas de números e idades
Dois números consecutivos: x e x + 1. Três números pares consecutivos: x, x + 2, x + 4. Nas idades, lembre que depois de n anos todos ficam n anos mais velhos.
Problemas de movimento
distância = velocidade × tempo. Se dois viajantes vão um em direção ao outro, as velocidades se somam. Num rio, um barco anda a (velocidade do barco + velocidade do rio) a favor da correnteza e a (velocidade do barco − velocidade do rio) contra a correnteza.
Problemas de trabalho
Se uma torneira enche um tanque em 6 horas, em 1 hora ela enche 1/6 do tanque. Some as partes feitas em uma hora e ache o tempo total.
Problemas de porcentagem e mistura
Uma parte é uma porcentagem do todo: parte = (p/100) × todo. Some as quantidades da substância pura em cada mistura para montar a equação.
Problemas de figuras
Use área = comprimento × largura, perímetro = 2(comprimento + largura). A história costuma dizer como um lado se relaciona com o outro.
Duas incógnitas e equações do 2º grau
Às vezes a história tem dois números escondidos, como o preço de uma caneta e o preço de um caderno. Aí usamos duas letras e escrevemos duas equações. Resolvemos somando, subtraindo ou substituindo (um sistema de equações do 1º grau).
Às vezes a equação tem x². Por exemplo, um retângulo tem comprimento (w + 3) e área 40, então w(w + 3) = 40, o que dá w² + 3w − 40 = 0. Ao resolver, saem duas raízes, mas a história pode aceitar só uma. Um comprimento não pode ser negativo, então descartamos essa raiz. Sempre teste cada raiz na história.
Experimente: uma balança em casa
Pegue uma régua e um lápis como gangorra, dois copinhos e 20 moedas ou feijões iguais. Coloque alguns feijões num copo e esconda debaixo de um pano: esse número é x. Peça a um amigo para pôr o outro copo igual do outro lado e acrescentar 3 feijões em um dos lados. Preveja primeiro: quantos feijões há no copo se a gangorra fica equilibrada quando o outro lado tem 13? Depois abra o pano e confira. Escreva a equação que você usou.
Fórmulas e definições principais
- Passos: Nomear a incógnita → Equação → Resolver → Conferir
- Números consecutivos: x, x + 1, x + 2
- distância = velocidade × tempo
- Encontro em sentidos opostos: (velocidade A + velocidade B) × tempo = distância
- Rio: a favor = barco + rio, contra = barco − rio
- Trabalho: as partes por hora se somam; tempo juntos = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Retângulo: área = comprimento × largura, perímetro = 2(comprimento + largura)
Exemplos resolvidos
1. A soma de dois números consecutivos é 41. Ache os números.
Seja x o menor número. O seguinte é x + 1. Equação: x + (x + 1) = 41, então 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Os números são 20 e 21. Conferência: 20 + 21 = 41.
2. Um pai tem 4 vezes a idade do filho. Daqui a 5 anos a soma das idades será 55. Ache as idades de hoje.
Seja x a idade do filho, e 4x a do pai. Daqui a 5 anos: (x + 5) + (4x + 5) = 55, então 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Filho 9, pai 36. Conferência: daqui a 5 anos 14 + 41 = 55.
3. Duas cidades estão a 180 km uma da outra. Um carro sai de cada cidade ao mesmo tempo, um indo ao encontro do outro a 50 km/h e 40 km/h. Quando eles se encontram?
Seja t o tempo em horas. Distâncias: 50t + 40t = 180, então 90t = 180, t = 2. Eles se encontram depois de 2 horas. Conferência: 100 km + 80 km = 180 km.
4. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Uma segunda torneira o enche em 3 horas. Quanto tempo levam juntas?
Em 1 hora as torneiras enchem 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 do tanque. Então o tanque inteiro leva 2 horas.
5. 3 canetas e 2 cadernos custam Rs 70. 2 canetas e 3 cadernos custam Rs 80. Ache o preço de uma caneta e de um caderno.
Seja p o preço da caneta e n o do caderno. 3p + 2n = 70 e 2p + 3n = 80. Subtraia a segunda da primeira: p − n = −10. Some as duas: 5p + 5n = 150, então p + n = 30. Daí n = p + 10, então 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Uma caneta custa Rs 10 e um caderno Rs 20. Conferência: 30 + 40 = 70 e 20 + 60 = 80.
6. Um retângulo tem 3 m a mais de comprimento que de largura. Sua área é 40 m². Ache os lados.
Seja w m a largura. Comprimento w + 3. Área: w(w + 3) = 40, então w² + 3w − 40 = 0. Fatore: (w + 8)(w − 5) = 0, então w = −8 ou w = 5. Uma largura não pode ser negativa, então w = 5 m e o comprimento é 8 m. Conferência: 5 × 8 = 40.
7. Um barco anda 36 km a favor da correnteza e 36 km de volta contra ela, em 9 horas no total. O rio corre a 3 km/h. Ache a velocidade do barco em água parada.
Seja v km/h a velocidade do barco. Tempo = distância ÷ velocidade, então 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Multiplique por (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), então 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (a velocidade não pode ser negativa). Conferência: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 horas.
Erros comuns
- Começar a escrever equações sem dizer o que x significa. Sempre escreva: seja x = ... com a unidade.
- Confundir 'a menos que'. 5 a menos que x é x − 5, não 5 − x.
- Conferir só na equação. Se você montou a equação errada, ela ainda confere. Confira na história.
- Aceitar uma resposta que não cabe na história, como um comprimento negativo ou meia pessoa, como 2,5 crianças.