O que é um parâmetro?
Em x² = 9 o número 9 é fixo. Em x² = a a letra a é um parâmetro: um número fixo que ainda não escolhemos. A incógnita que resolvemos continua sendo x.
Por isso a resposta não é um número só. A resposta diz como as soluções dependem de a. Por exemplo: "se a < 0 não há solução; se a = 0 há uma; se a > 0 há duas".
O método gráfico: deslize a reta y = a
Método gráfico em quatro passos:
- Arrume a equação para ela ficar f(x) = a (a sozinho de um lado).
- Desenhe a curva y = f(x) uma única vez. Ela não depende de a.
- Desenhe a reta horizontal y = a. Mudar a faz a reta subir ou descer.
- Conte os pontos de encontro em cada posição. Anote as faixas de a em que a contagem não muda e os valores especiais em que ela muda.
Exemplo: |x² − 4| = a. A curva tem formato de W, com pontos baixos em (−2, 0), (2, 0) e um pico em (0, 4).
- a < 0: 0 soluções
- a = 0: 2 soluções (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 soluções
- a = 4: 3 soluções
- a > 4: 2 soluções
Quando a aparece dentro da fórmula: discriminante
Em x² − 4x + a = 0 o número de raízes depende do discriminante D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, ou seja, a < 4: duas raízes.
- D = 0, ou seja, a = 4: uma raiz.
- D < 0, ou seja, a > 4: nenhuma raiz real.
Para "x² + 2ax + 4 > 0 para todo x" precisamos de nenhuma raiz e da parábola acima do eixo: D = 4a² − 16 < 0, então −2 < a < 2.
Também dá para desenhar: x² − 4x = −a é a parábola com ponto mais baixo −4 e uma reta na altura −a.
Inequações e casos
Em ax > 2 o sinal de a decide a resposta, então separamos em casos:
- a > 0: divida e mantenha o sinal: x > 2/a.
- a < 0: divida e inverta o sinal: x < 2/a.
- a = 0: fica 0 > 2, que é falso: nenhuma solução.
Sempre diga o que acontece em a = 0 e nos valores especiais que você achou. Uma resposta completa lista todos os casos.
Tente: preveja e depois confira
Abra o quadro 3D em |x − 1| + |x + 1| = a. Antes de deslizar, chute quantas soluções a = 1 dá. Depois deslize até a = 1 e leia o resultado. Tente a = 2 e a = 3. Em casa: encha uma tigela com água e olhe a superfície da água tocando a parede. Uma tigela funda toca em dois lugares; uma tigela de fundo reto pode tocar ao longo de uma linha inteira. É o mesmo desenho.
Fórmulas e definições principais
- f(x) = a: soluções = pontos de encontro de y = f(x) e y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 duas raízes, D = 0 uma raiz, D < 0 nenhuma
- x² + bx + c > 0 para todo x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → verifique 0 > c
Exemplos resolvidos
1. Quantas soluções tem x² = a?
Desenhe y = x² e a reta y = a. Se a < 0 a reta está abaixo da curva: 0 soluções. Se a = 0 ela encosta no fundo: 1 solução. Se a > 0 ela corta duas vezes: 2 soluções (x = ±√a).
2. Para quais valores de a a equação x² − 4x + a = 0 tem duas raízes diferentes?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Duas raízes diferentes exigem D > 0, então 16 − 4a > 0, ou seja, a < 4.
3. Discuta |x| = a.
A curva y = |x| é um V com a ponta em (0, 0). a < 0: nenhuma. a = 0: uma (x = 0). a > 0: duas (x = ±a).
4. Quantas soluções tem |x² − 4| = a quando a = 2?
x² − 4 = 2 dá x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 dá x² = 2, x = ±√2. Quatro soluções diferentes.
5. Ache o número de soluções de x² − 2x = a para cada a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, uma parábola com ponto mais baixo (1, −1). a < −1: nenhuma. a = −1: uma (x = 1). a > −1: duas.
6. Resolva ax > 2 para todos os valores de a.
a > 0: x > 2/a. a < 0: ao dividir por a o sinal inverte, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 é falso, então não há solução.
7. Para quais valores de a vale x² + 2ax + 4 > 0 para todo x?
A parábola abre para cima. Ela fica acima do eixo se não tiver raiz real: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, então a² < 4, ou seja, −2 < a < 2.
8. Para quais valores de a a equação |x − 1| + |x + 1| = a tem exatamente duas soluções?
A curva é reta na altura 2 entre x = −1 e 1 e depois sobe com inclinação 2 dos dois lados. a < 2: nenhuma. a = 2: infinitas. a > 2: duas soluções x = ±a/2. Então a > 2.
Erros comuns
- Dar um só número como resposta. Em um problema com parâmetro, a resposta é uma lista de casos para a.
- Esquecer os valores especiais, como o a em que a reta toca a curva em um único ponto.
- Dividir por a sem checar a = 0 e o sinal de a.
- Contar duas vezes um ponto de toque. Um toque é uma solução (raiz dupla), não duas.