Qu'est-ce qu'un paramètre ?
Dans x² = 9, le nombre 9 est fixé. Dans x² = a, la lettre a est un paramètre : un nombre fixé que nous n'avons pas encore choisi. L'inconnue que nous cherchons reste x.
La réponse n'est donc pas un seul nombre. Elle dit comment les solutions dépendent de a. Par exemple : « si a < 0 il n'y a pas de solution ; si a = 0 il y en a une ; si a > 0 il y en a deux ».
La méthode graphique : faire glisser la droite y = a
La méthode graphique en quatre étapes :
- Déplace tout pour que l'équation devienne f(x) = a (a seul d'un côté).
- Trace une seule fois la courbe y = f(x). Elle ne dépend pas de a.
- Trace la droite horizontale y = a. Changer a la fait monter ou descendre.
- Compte les points d'intersection pour chaque position. Note les intervalles de a où le nombre reste le même, et les valeurs spéciales où il change.
Exemple : |x² − 4| = a. La courbe a la forme d'un W, avec des points bas en (−2, 0), (2, 0) et un sommet en (0, 4).
- a < 0 : 0 solution
- a = 0 : 2 solutions (x = ±2)
- 0 < a < 4 : 4 solutions
- a = 4 : 3 solutions
- a > 4 : 2 solutions
Quand a est dans la formule : le discriminant
Pour x² − 4x + a = 0, le nombre de racines dépend du discriminant D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, c'est-à-dire a < 4 : deux racines.
- D = 0, c'est-à-dire a = 4 : une racine.
- D < 0, c'est-à-dire a > 4 : aucune racine réelle.
Pour « x² + 2ax + 4 > 0 pour tout x », il faut aucune racine et la parabole au-dessus de l'axe : D = 4a² − 16 < 0, donc −2 < a < 2.
Tu peux aussi le dessiner : x² − 4x = −a, c'est la parabole de point le plus bas −4 et une droite à la hauteur −a.
Inéquations et disjonction de cas
Dans ax > 2, le signe de a décide de la réponse, alors on sépare en cas :
- a > 0 : on divise, le sens ne change pas : x > 2/a.
- a < 0 : on divise, le sens s'inverse : x < 2/a.
- a = 0 : cela donne 0 > 2, faux : aucune solution.
Dis toujours ce qui se passe pour a = 0 et pour les valeurs spéciales que tu as trouvées. Une réponse complète donne tous les cas.
À toi : prévois, puis vérifie
Ouvre le tableau 3D sur |x − 1| + |x + 1| = a. Avant de faire glisser, devine combien de solutions donne a = 1. Puis place-toi sur a = 1 et lis le résultat. Essaie a = 2 et a = 3. À la maison : remplis un bol d'eau et regarde la surface de l'eau qui touche la paroi. Un bol profond touche en deux endroits ; un bol à fond plat peut toucher sur toute une ligne. C'est exactement la même image.
Formules et définitions clés
- f(x) = a : solutions = points d'intersection de y = f(x) et y = a
- D = b² − 4ac : D > 0 deux racines, D = 0 une racine, D < 0 aucune
- x² + bx + c > 0 pour tout x ⇔ D < 0
- ax > c : a > 0 → x > c/a ; a < 0 → x < c/a ; a = 0 → vérifier 0 > c
Exemples résolus
1. Combien de solutions a l'équation x² = a ?
Trace y = x² et la droite y = a. Si a < 0, la droite est sous la courbe : 0 solution. Si a = 0, elle touche en bas : 1 solution. Si a > 0, elle coupe deux fois : 2 solutions (x = ±√a).
2. Pour quelles valeurs de a l'équation x² − 4x + a = 0 a-t-elle deux racines distinctes ?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Deux racines distinctes demandent D > 0, donc 16 − 4a > 0, donc a < 4.
3. Discute |x| = a.
La courbe y = |x| est un V dont la pointe est en (0, 0). a < 0 : aucune. a = 0 : une (x = 0). a > 0 : deux (x = ±a).
4. Combien de solutions a |x² − 4| = a quand a = 2 ?
x² − 4 = 2 donne x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 donne x² = 2, x = ±√2. Quatre solutions distinctes.
5. Trouve le nombre de solutions de x² − 2x = a selon a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, une parabole dont le point le plus bas est (1, −1). a < −1 : aucune. a = −1 : une (x = 1). a > −1 : deux.
6. Résous ax > 2 pour toutes les valeurs de a.
a > 0 : x > 2/a. a < 0 : diviser par a inverse le sens, x < 2/a. a = 0 : 0 > 2 est faux, donc aucune solution.
7. Pour quelles valeurs de a a-t-on x² + 2ax + 4 > 0 pour tout x ?
La parabole est tournée vers le haut. Elle reste au-dessus de l'axe si elle n'a pas de racine réelle : D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, donc a² < 4, donc −2 < a < 2.
8. Pour quelles valeurs de a l'équation |x − 1| + |x + 1| = a a-t-elle exactement deux solutions ?
La courbe est plate à la hauteur 2 entre x = −1 et 1, puis monte avec une pente de 2 de chaque côté. a < 2 : aucune. a = 2 : une infinité. a > 2 : deux solutions x = ±a/2. Donc a > 2.
Erreurs fréquentes
- Donner un seul nombre comme réponse. Pour un problème à paramètre, la réponse est une liste de cas pour a.
- Oublier les valeurs spéciales, comme la valeur de a où la droite ne touche la courbe qu'une seule fois.
- Diviser par a sans vérifier a = 0 et le signe de a.
- Compter deux fois un point de contact. Un contact est une solution (une racine double), pas deux.