パラメータとは?
x² = 9では、9は決まった数です。x² = aでは、文字aがパラメータで、まだ選んでいない1つの決まった数を表します。解く相手の未知数はやはりxです。
だから答えは1つの数ではありません。答えは解がaによってどう変わるかを述べるものです。たとえば「a < 0なら解なし、a = 0なら解は1つ、a > 0なら解は2つ」のようになります。
グラフ解法:直線y = aをスライドさせる
グラフ解法は4つの手順です。
- 方程式をf(x) = aの形に直します(aを片方の辺に1人にします)。
- 曲線y = f(x)を1回だけ描きます。これはaによって変わりません。
- 水平な直線y = aを描きます。aを変えると上下に動きます。
- 直線の位置ごとに交点の数を数えます。数が同じになるaの範囲と、数が変わる特別な値を書き出します。
例:|x² − 4| = a。曲線はW字形で、低い点が(−2, 0)と(2, 0)、山の頂点が(0, 4)です。
- a < 0:解は0個
- a = 0:解は2個(x = ±2)
- 0 < a < 4:解は4個
- a = 4:解は3個
- a > 4:解は2個
aが式の中にあるとき:判別式
x² − 4x + a = 0の解の個数は、判別式D = b² − 4ac = 16 − 4aで決まります。
- D > 0、つまりa < 4:解は2個。
- D = 0、つまりa = 4:解は1個。
- D < 0、つまりa > 4:実数解なし。
「すべてのxでx² + 2ax + 4 > 0」となるには、解がなく、放物線がx軸の上にある必要があります。D = 4a² − 16 < 0なので、−2 < a < 2です。
図に描くこともできます。x² − 4x = −aは、最も低い点が−4の放物線と、高さ−aの直線です。
不等式と場合分け
ax > 2では、aの符号で答えが変わるので、場合に分けます。
- a > 0:割っても向きはそのまま。x > 2/a。
- a < 0:割って不等号の向きを逆にする。x < 2/a。
- a = 0:0 > 2となり、偽。解なし。
a = 0のときと、見つけた特別な値のときに何が起きるかを必ず書きましょう。完全な答えは、すべての場合を並べたものです。
やってみよう:予想してから確かめる
3Dボードで|x − 1| + |x + 1| = aを開きます。スライドする前に、a = 1のとき解がいくつか予想しましょう。次にa = 1までスライドして読み取ります。a = 2とa = 3も試してください。家では、器に水を入れて、水面が壁に触れる様子を見てください。深い器は2か所で触れ、底が平らな器は線全体で触れることがあります。これは同じ図です。
重要な公式と用語
- f(x) = a: 解の個数 = y = f(x)とy = aの交点の数
- D = b² − 4ac: D > 0 解2個、D = 0 解1個、D < 0 解なし
- x² + bx + c > 0 がすべてのxで成り立つ ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → 0 > c を確かめる
例題
1. x² = aの解はいくつありますか?
y = x²と直線y = aを描きます。a < 0なら直線は曲線の下で、解は0個。a = 0なら一番下で触れて、解は1個。a > 0なら2回交わり、解は2個(x = ±√a)。
2. x² − 4x + a = 0が異なる2つの解をもつのは、aがいくつのときですか?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a。異なる2つの解にはD > 0が必要なので、16 − 4a > 0、よってa < 4。
3. |x| = aを調べなさい。
曲線y = |x|は、先が(0, 0)にあるV字です。a < 0:なし。a = 0:1個(x = 0)。a > 0:2個(x = ±a)。
4. a = 2のとき、|x² − 4| = aの解はいくつですか?
x² − 4 = 2からx² = 6、x = ±√6。x² − 4 = −2からx² = 2、x = ±√2。異なる解が4個。
5. x² − 2x = aの解の個数を、各aについて求めなさい。
x² − 2x = (x − 1)² − 1で、最も低い点が(1, −1)の放物線です。a < −1:なし。a = −1:1個(x = 1)。a > −1:2個。
6. すべてのaについてax > 2を解きなさい。
a > 0:x > 2/a。a < 0:aで割ると不等号が逆になり、x < 2/a。a = 0:0 > 2は偽なので、解なし。
7. すべてのxでx² + 2ax + 4 > 0となるのは、aがいくつのときですか?
放物線は上に開いています。実数解がなければ、常にx軸の上にあります。D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0なので、a² < 4、よって−2 < a < 2。
8. |x − 1| + |x + 1| = aがちょうど2つの解をもつのは、aがいくつのときですか?
曲線はx = −1から1の間で高さ2の平らな線で、その両側では傾き2で上がります。a < 2:なし。a = 2:無数。a > 2:2個でx = ±a/2。よってa > 2。
よくある間違い
- 答えを1つの数で書いてしまう。パラメータの問題では、答えはaの場合分けの一覧です。
- 特別な値を忘れる。たとえば、直線が曲線にちょうど1回だけ触れるaの値です。
- a = 0とaの符号を確かめずにaで割る。
- 接する点を2回数える。接点は1つの解(重解)であり、2つではありません。