合成関数：中と外
合成関数 f(g(x)) とは、先に g を計算し、その答えを f に入れることです。f(x) = x²、g(x) = x − 2 なら f(g(x)) = (x − 2)² になります。順番を逆にすると g(f(x)) = x² − 2 となり、別のグラフになります。
y = f(x) のグラフについての基本ルール：
- f(x − h)：右へ h だけ動く(中、横方向、符号と反対)。
- f(x) + k：上へ k だけ動く(外)。
- −f(x)：x軸について反転。f(−x)：y軸について反転。
- a·f(x)：上下に伸び縮み。f(bx)：横に伸び縮み。
すべての動きは別のレッスンで学べます：関数の変換。
グラフの絶対値：|f(x)| と f(|x|)
絶対値 |a| は、符号を取った a の大きさです。|−3| = 3 です。
|f(x)|(外)：まず y = f(x) をかきます。x軸上かそれより上の部分はそのまま残します。x軸より下の部分は上へ折り返します(x軸について鏡うつし)。結果は0より下に行きません。
f(|x|)(中)：x ≥ 0 の部分だけ y = f(x) をかきます。左側は捨てて、右側の鏡うつしに置き換えます。結果は y軸について対称(偶関数)になります。
例：y = |x² − 2| は ±√2 で0になり、x = 0 で最大の山 2 をとります。y = (|x| − 1)² は ±1 で0になり、x = 0 で y = 1 です。
方程式が表す図形
x と y の方程式の図形(グラフ)とは、それを成り立たせる点 (x, y) をすべて集めたものです。
- x² + y² = r²：中心 (0, 0)、半径 r の円。どの点も中心から r の距離です。
- |x| + |y| = r：ひし形(正方形を45°回したもの)。角は (±r, 0) と (0, ±r)。面積は 2r² です。
- y² = x：横に寝た放物線。y = √x と y = −√x を合わせたものです。
コツ：|x| + |y| = r をかくには、第1象限だけ(x, y ≥ 0)で x + y = r をかき、残りの3つの象限に鏡うつしします。
垂直線テスト：ある縦線が図形と2回交わると、1つの x に y が2つあるので関数のグラフではありません。円と y² = x は不合格、y = x² と y = |x| は合格です。
スケッチの手順
- 定義域(使える x の範囲)を調べる。
- 切片(軸と交わる点)に印をつける。
- 対称性を確かめる(偶関数なら y軸について対称)。
- いくつかの目印の点をとり、なめらかにつなぐ。
グラフは解の個数も教えてくれます。y = f(x) と y = g(x) が交わる回数が、f(x) = g(x) の解の個数です。
やってみよう：予想してから確かめる
3Dボードで y = (x − h)² を選びます。h = 3 のとき、いちばん低い点がどこに来るか予想し、h を3に動かして確かめましょう。|x| + |y| = r を選び、r = 3 のときの面積を予想します(答えは18)。家では、紙を半分に折り、片側にハートの半分をかいて、線に沿って切って開きます。折り目が y軸で、あなたは f(|x|) を作ったことになります。
重要な公式と用語
- f(x − h): 右へ h 移動; f(x) + k: 上へ k 移動
- |f(x)|: x軸より下の部分を上へ折り返す
- f(|x|): x ≥ 0 の部分を x < 0 へ鏡うつし
- x² + y² = r²: 円、中心 (0, 0)、半径 r
- |x| + |y| = r: ひし形、面積 2r²
- 垂直線テスト: 1つの x に y は1つだけ
例題
1. f(x) = x²、g(x) = x − 2 のとき、f(g(x)) と g(f(x)) を求めなさい。
f(g(x)) = (x − 2)²：放物線 x² が右へ2ずれ、最も低い点は (2, 0)。g(f(x)) = x² − 2：放物線が下へ2ずれ、最も低い点は (0, −2)。2つは別のグラフです。
2. y = |x² − 2| のグラフをかき、0になる点と y切片を答えなさい。
まず x² − 2 をかく(最も低い点 (0, −2)、0になる点 ±√2 ≈ ±1.41)。0になる点の間のくぼみを上へ折り返すと、(0, −2) は (0, 2) になる。0になる点は ±√2、y切片は 2。
3. y = (|x| − 1)² のグラフをかきなさい。
x ≥ 0 では (x − 1)²：最も低い点は (1, 0)、x = 0 の値は 1。これを左へ鏡うつしする：0になる点は x = ±1、y切片は 1、(0, 1) に小さな山ができて、文字 W のような形になる。
4. |x| + |y| = 2 をかき、その面積を求めなさい。
角は (2, 0)、(0, 2)、(−2, 0)、(0, −2)。対角線の長さが4の正方形です。面積 = ½ × 4 × 4 = 8(2r² = 2 × 4 = 8 でも同じ)。
5. 円 x² + y² = 9 の上で、x = 2 のときの y を求めなさい。
4 + y² = 9 なので y² = 5、y = ±√5 ≈ ±2.24。点は2つ：上半分に1つ、下半分に1つ。
6. y² = x のグラフは、関数 y = f(x) のグラフですか。
いいえ。縦線 x = 4 は y = 2 と y = −2 で交わります。1つの x に y が2つあります。これは y = √x(上)と y = −√x(下)という2つの関数のグラフを合わせたものです。
7. (x − 2)² = |x| の解はいくつありますか。
y = (x − 2)² と y = |x| をかく。x ≥ 0 のとき：x² − 4x + 4 = x より x² − 5x + 4 = 0、x = 1 または 4。x < 0 のとき：x² − 3x + 4 = 0 は D = 9 − 16 < 0 なので解なし。よって解は2つ。グラフでも右側に交点が2つあります。
8. f(x) = √x、g(x) = x² − 4 のとき、f(g(x)) の定義域を求めなさい。
f(g(x)) = √(x² − 4)。x² − 4 ≥ 0 が必要なので、x ≤ −2 または x ≥ 2。グラフは離れた2本の腕になる：1本は (2, 0) から右へ、もう1本は (−2, 0) から左へのびる。
よくある間違い
- (x − 2)² を左へ動かしてしまう。中のマイナスはグラフを右へ動かします。
- f(g(x)) と g(f(x)) を混同する。順番が大事で、中のほうを先に計算します。
- |f(x)| と f(|x|) を同じだと思う。一方は下を上へ折り返し、もう一方は右側を鏡うつしします。
- どんな曲線も関数のグラフだと思う。円は垂直線テストに合格しません。