Funciones compuestas: dentro y fuera
Una función compuesta f(g(x)) significa: primero haz g y luego mete el resultado en f. Si f(x) = x² y g(x) = x − 2, entonces f(g(x)) = (x − 2)². Si lo haces al revés, g(f(x)) = x² − 2, que es una gráfica distinta.
Reglas rápidas para la gráfica de y = f(x):
- f(x − h): se desliza a la derecha h unidades (dentro, hacia los lados, al contrario del signo).
- f(x) + k: se desliza hacia arriba k unidades (fuera).
- −f(x): se voltea sobre el eje x. f(−x): se voltea sobre el eje y.
- a·f(x): se estira hacia arriba y abajo. f(bx): se comprime hacia los lados.
El conjunto completo de movimientos tiene su propia lección: Transformaciones de funciones.
Valor absoluto en una gráfica: |f(x)| y f(|x|)
El valor absoluto |a| es el tamaño de a sin su signo: |−3| = 3.
|f(x)| (por fuera): dibuja y = f(x). Conserva las partes que están sobre el eje x o en él. Voltea hacia arriba las partes que están debajo (espejo en el eje x). El resultado nunca baja de cero.
f(|x|) (por dentro): dibuja y = f(x) solo para x ≥ 0. Descarta el lado izquierdo y reemplázalo por una copia en espejo del lado derecho. El resultado es simétrico respecto al eje y (una función par).
Ejemplo: y = |x² − 2| tiene ceros en ±√2 y un valor máximo local de 2 en x = 0. y = (|x| − 1)² tiene ceros en ±1 y vale y = 1 en x = 0.
Imagen geométrica de una ecuación
La imagen geométrica (gráfica) de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos (x, y) que la hacen verdadera.
- x² + y² = r²: un círculo con centro (0, 0) y radio r. Cada punto está a distancia r del centro.
- |x| + |y| = r: un rombo (un cuadrado girado 45°) con vértices (±r, 0) y (0, ±r). Su área es 2r².
- y² = x: una parábola acostada. Es la unión de y = √x y y = −√x.
Truco: para dibujar |x| + |y| = r, dibuja x + y = r solo en el primer cuadrante (x, y ≥ 0) y luego refléjala en los otros tres cuadrantes.
Prueba de la recta vertical: si alguna recta vertical corta la figura dos veces, una x tiene dos valores de y, así que no es la gráfica de una función. El círculo y y² = x no la pasan; y = x² y y = |x| sí.
Un plan para trazar gráficas
- Encuentra el dominio (qué valores de x se permiten).
- Marca las intersecciones (donde corta los ejes).
- Revisa la simetría (par: espejo en el eje y).
- Marca algunos puntos clave y únelos con una curva suave.
Las gráficas también cuentan soluciones: el número de veces que y = f(x) se cruza con y = g(x) es el número de soluciones de f(x) = g(x).
Pruébalo: primero predice, luego comprueba
En el tablero 3D elige y = (x − h)². Adivina dónde queda el punto más bajo cuando h = 3 y luego mueve h hasta 3. Elige |x| + |y| = r y adivina el área para r = 3 (respuesta 18). En casa: dobla un papel por la mitad, dibuja media figura de corazón en un lado, corta por la línea y ábrelo. El doblez es tu eje y, y acabas de hacer f(|x|).
Fórmulas y definiciones clave
- f(x − h): desplazar h a la derecha; f(x) + k: desplazar k hacia arriba
- |f(x)|: voltear hacia arriba la parte bajo el eje x
- f(|x|): conservar x ≥ 0 y reflejarlo en x < 0
- x² + y² = r²: círculo, centro (0, 0), radio r
- |x| + |y| = r: rombo, área 2r²
- Prueba de la recta vertical: cada x debe dar un solo y
Ejemplos resueltos
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Halla f(g(x)) y g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : la parábola x² desplazada 2 a la derecha, punto más bajo (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : la parábola desplazada 2 hacia abajo, punto más bajo (0, −2). Son distintas.
2. Traza y = |x² − 2|. Da los ceros y la intersección con el eje y.
Dibuja primero x² − 2 (punto más bajo (0, −2), ceros ±√2 ≈ ±1.41). Voltea hacia arriba la parte hundida entre los ceros: el punto (0, −2) pasa a (0, 2). Ceros ±√2, intersección con el eje y: 2.
3. Traza y = (|x| − 1)².
Para x ≥ 0 es (x − 1)²: punto más bajo (1, 0), y en x = 0 el valor es 1. Refléjala a la izquierda: ceros en x = ±1, intersección con el eje y: 1, una pequeña joroba en (0, 1) como la letra W.
4. Dibuja |x| + |y| = 2 y halla su área.
Vértices en (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). Es un cuadrado con diagonales de longitud 4. Área = ½ × 4 × 4 = 8 (también 2r² = 2 × 4 = 8).
5. En el círculo x² + y² = 9, halla y cuando x = 2.
4 + y² = 9, así que y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Dos puntos: uno en la mitad superior y otro en la inferior.
6. ¿Es la gráfica de y² = x la gráfica de una función y = f(x)?
No. La recta vertical x = 4 la corta en y = 2 y en y = −2: una x, dos y. Son dos gráficas de funciones juntas: y = √x (arriba) y y = −√x (abajo).
7. ¿Cuántas soluciones tiene (x − 2)² = |x|?
Dibuja y = (x − 2)² y y = |x|. Para x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x da x² − 5x + 4 = 0, así que x = 1 o 4. Para x < 0: x² − 3x + 4 = 0 tiene D = 9 − 16 < 0, ninguna. Entonces hay 2 soluciones. La gráfica lo muestra igual: dos puntos de encuentro a la derecha.
8. f(x) = √x y g(x) = x² − 4. Halla el dominio de f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Se necesita x² − 4 ≥ 0, así que x ≤ −2 o x ≥ 2. La gráfica tiene dos ramas separadas: una que empieza en (2, 0) y va a la derecha, otra que empieza en (−2, 0) y va a la izquierda.
Errores comunes
- Mover (x − 2)² hacia la izquierda. El signo menos dentro mueve la gráfica a la derecha.
- Confundir f(g(x)) con g(f(x)). El orden importa: primero se hace la de adentro.
- Pensar que |f(x)| y f(|x|) son lo mismo. Una voltea la parte de abajo hacia arriba; la otra refleja el lado derecho.
- Llamar gráfica de función a cualquier curva. Un círculo no pasa la prueba de la recta vertical.