Periodicidad
Una función f es periódica si existe un número T > 0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x. El menor T que lo cumple es el período. La gráfica es un trozo que se repite una y otra vez.
- sen x y cos x: período 2π.
- tan x: período π.
- sen(wx): período 2π ÷ w. Así, sen(2x) tiene período π.
- |sen x|: período π (las partes dadas la vuelta hacen que se repita el doble de veces).
Una función como x² no es periódica: sus valores siguen creciendo y nunca se repiten.
Si f tiene período T, solo hace falta estudiar un período y luego copiarlo.
Monotonía: creciente y decreciente
Una función es creciente en un intervalo si la gráfica sube cuando x aumenta, y decreciente si baja. Juntas se llaman monótonas (van en una sola dirección).
Lo decide la pendiente. La pendiente de la curva en un punto se escribe f′(x) (la derivada).
- f′(x) > 0 en un intervalo: creciente ahí.
- f′(x) < 0 en un intervalo: decreciente ahí.
Ejemplo: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Es positiva para x < −1 y x > 1 (creciente) y negativa para −1 < x < 1 (decreciente).
Extremos: puntos de giro
Un máximo local es la cima de una colina: la función sube y luego baja. Un mínimo local es el fondo de un valle: baja y luego sube. Juntos son los extremos (extremo, en singular).
En un punto así la recta tangente está plana, por lo que f′(x) = 0. Se encuentran así:
- Resuelve f′(x) = 0. Esos son los candidatos (puntos críticos).
- Mira el signo de f′ justo antes y justo después. Más y luego menos: máximo. Menos y luego más: mínimo. Sin cambio: ninguno de los dos (como x³ en 0).
Para x³ − 3x: f′ = 0 en x = ±1. En x = −1 la pendiente pasa de + a −: máximo local, valor 2. En x = 1 pasa de − a +: mínimo local, valor −2.
Máximo y mínimo en un intervalo [a, b]
En un intervalo cerrado [a, b] una función suave tiene un valor más grande y uno más pequeño. Pueden estar en un punto de giro de dentro o en un extremo del intervalo. Por eso:
- Halla los puntos de giro (f′ = 0) que estén dentro de [a, b]. Ignora los de fuera.
- Calcula f en esos puntos y en a y b.
- El número mayor es el máximo, el menor es el mínimo.
Para f = x³ − 3x en [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Máximo 2 en x = −1; mínimo −2 en x = −2 y x = 1.
Un máximo local no siempre es el mayor del intervalo: un extremo puede ser más grande.
Pruébalo: predice y comprueba
En la pizarra 3D elige "Máximo y mínimo en [a, b]". Adivina: si a = −1.5 y b = 2, ¿dónde está el máximo? Desliza a y b para comprobarlo. En casa: lanza una pelotita hacia arriba (¡con suavidad!) y observa: sube, se detiene un instante arriba (pendiente 0) y cae. La cima es el punto de giro. O aplaude con un ritmo constante: el tiempo entre dos palmadas es el período.
Fórmulas y definiciones clave
- Periódica: f(x + T) = f(x) para todo x
- sen(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → creciente; f′(x) < 0 → decreciente
- Punto de giro: f′(x) = 0 y el signo de f′ cambia
- Máx/mín en [a, b]: compara f(a), f(b) y f en los puntos de giro de dentro
Ejemplos resueltos
1. Halla el período de y = sen(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Halla el período de y = cos(x/2).
Aquí w = 1/2, así que T = 2π ÷ (1/2) = 4π. La onda está estirada, por eso se repite más despacio.
3. ¿Es periódica f(x) = x²?
No. Si f(x + T) = f(x) para todo x, entonces en x = 0: T² = 0, así que T = 0, pero un período debe ser mayor que 0. Por tanto x² no es periódica. La gráfica es un cuenco que nunca se repite.
4. ¿Dónde es creciente y dónde decreciente f(x) = x² − 4x?
f′(x) = 2x − 4. Vale 0 en x = 2. Para x < 2, f′ < 0: decreciente. Para x > 2, f′ > 0: creciente. Así que x = 2 es el mínimo, con f(2) = −4.
5. Halla el máximo y el mínimo locales de f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 da x = ±1. En x = −1 la pendiente pasa de + a −: máximo local, f(−1) = −1 + 3 = 2. En x = 1 pasa de − a +: mínimo local, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Halla el máximo y el mínimo de f(x) = x³ − 3x en [−2, 1.5].
Los puntos de giro ±1 están los dos dentro. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. El mayor es 2 en x = −1, el menor es −2 en x = −2 y x = 1.
7. Halla el máximo y el mínimo de f(x) = x² − 4x + 1 en [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 da x = 2 (dentro). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Máximo 6 en x = 5 (un extremo), mínimo −3 en x = 2.
8. Halla el máximo y el mínimo de f(x) = x + 1/x en [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Para x > 1, 1/x² < 1, así que f′ > 0: creciente en todo el intervalo. No hay punto de giro dentro (x = 1 es un extremo). Mínimo f(1) = 2, máximo f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Errores comunes
- Decir que una función es periódica porque se repite una o dos veces. La repetición debe cumplirse para todo x.
- Usar mal el período de sen(wx). Es 2π ÷ w, no 2π × w.
- Pensar que todo punto con f′ = 0 es un máximo o un mínimo. x³ en 0 se aplana un instante pero sigue subiendo.
- Olvidar mirar los dos extremos del intervalo. El valor mayor o menor suele estar en un extremo.