Periodicità
Una funzione f è periodica se esiste un numero T > 0 tale che f(x + T) = f(x) per ogni x. Il più piccolo T con questa proprietà è il periodo. Il grafico è un pezzo che si ripete sempre uguale.
- sin x e cos x: periodo 2π.
- tan x: periodo π.
- sin(wx): periodo 2π ÷ w. Quindi sin(2x) ha periodo π.
- |sin x|: periodo π (le parti ribaltate lo fanno ripetere il doppio delle volte).
Una funzione come x² non è periodica: i suoi valori continuano a crescere e non si ripetono mai.
Se f ha periodo T, basta studiare un solo periodo e poi copiarlo.
Monotonia: crescente e decrescente
Una funzione è crescente in un intervallo se il grafico sale quando x aumenta, ed è decrescente se scende. Insieme si dicono monotone (una sola direzione).
Lo dice la pendenza. La pendenza della curva in un punto si scrive f′(x) (la derivata).
- f′(x) > 0 in un intervallo: lì f è crescente.
- f′(x) < 0 in un intervallo: lì f è decrescente.
Esempio: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). È positiva per x < −1 e x > 1 (crescente) e negativa per −1 < x < 1 (decrescente).
Estremi: i punti di svolta
Un massimo locale è la cima di una collina: la funzione sale e poi scende. Un minimo locale è il fondo di una valle: scende e poi sale. Insieme si chiamano estremi.
In un punto così la retta tangente è piatta, quindi f′(x) = 0. Si trovano così:
- Risolvi f′(x) = 0. Sono i candidati (punti critici).
- Controlla il segno di f′ appena prima e appena dopo. Più poi meno: massimo. Meno poi più: minimo. Nessun cambio: né l'uno né l'altro (come x³ in 0).
Per x³ − 3x: f′ = 0 in x = ±1. In x = −1 la pendenza passa da + a −: massimo locale, valore 2. In x = 1 passa da − a +: minimo locale, valore −2.
Massimo e minimo in un intervallo [a, b]
In un intervallo chiuso [a, b] una funzione continua e liscia ha un valore più grande e uno più piccolo. Possono stare in un punto di svolta interno o in un estremo dell'intervallo. Quindi:
- Trova i punti di svolta (f′ = 0) che stanno dentro [a, b]. Ignora quelli fuori.
- Calcola f in quei punti e in a e b.
- Il numero più grande è il massimo, il più piccolo è il minimo.
Per f = x³ − 3x su [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Massimo 2 in x = −1; minimo −2 in x = −2 e in x = 1.
Un massimo locale non è sempre il più grande dell'intervallo: un estremo può essere più alto.
Prova tu: prevedi, poi controlla
Nella lavagna 3D scegli "Massimo e minimo su [a, b]". Indovina: se a = −1.5 e b = 2, dove sta il massimo? Muovi a e b per verificare. A casa: lancia in alto una pallina (piano!) e osserva: sale, si ferma un istante in cima (pendenza 0) e ricade. La cima è il punto di svolta. Oppure batti le mani a ritmo costante: il tempo tra due battiti è il periodo.
Formule e definizioni chiave
- Periodica: f(x + T) = f(x) per ogni x
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → crescente; f′(x) < 0 → decrescente
- Punto di svolta: f′(x) = 0 e il segno di f′ cambia
- Max/min su [a, b]: confronta f(a), f(b) e f nei punti di svolta interni
Esempi svolti
1. Trova il periodo di y = sin(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Trova il periodo di y = cos(x/2).
Qui w = 1/2, quindi T = 2π ÷ (1/2) = 4π. L'onda è allungata, perciò si ripete più lentamente.
3. La funzione f(x) = x² è periodica?
No. Se f(x + T) = f(x) per ogni x, in x = 0 si ha T² = 0, quindi T = 0, ma un periodo deve essere maggiore di 0. Dunque x² non è periodica. Il grafico è una ciotola che non si ripete mai.
4. Dove f(x) = x² − 4x è crescente e dove è decrescente?
f′(x) = 2x − 4. Vale 0 in x = 2. Per x < 2, f′ < 0: decrescente. Per x > 2, f′ > 0: crescente. Quindi x = 2 è il minimo, con f(2) = −4.
5. Trova il massimo e il minimo locali di f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 dà x = ±1. In x = −1 la pendenza passa da + a −: massimo locale, f(−1) = −1 + 3 = 2. In x = 1 passa da − a +: minimo locale, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Trova il massimo e il minimo di f(x) = x³ − 3x su [−2, 1.5].
I punti di svolta ±1 sono entrambi dentro. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Il più grande è 2 in x = −1, il più piccolo è −2 in x = −2 e in x = 1.
7. Trova il massimo e il minimo di f(x) = x² − 4x + 1 su [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 dà x = 2 (dentro). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Massimo 6 in x = 5 (un estremo), minimo −3 in x = 2.
8. Trova il massimo e il minimo di f(x) = x + 1/x su [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Per x > 1, 1/x² < 1, quindi f′ > 0: crescente su tutto l'intervallo. Nessun punto di svolta dentro (x = 1 è un estremo). Minimo f(1) = 2, massimo f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Errori comuni
- Dire che una funzione è periodica perché si è ripetuta una o due volte. La ripetizione deve valere per ogni x.
- Usare il periodo sbagliato per sin(wx). È 2π ÷ w, non 2π × w.
- Pensare che ogni punto con f′ = 0 sia un massimo o un minimo. x³ in 0 è piatta per un istante ma poi continua a salire.
- Dimenticare di controllare i due estremi dell'intervallo. Il valore più grande o più piccolo spesso sta in un estremo.