Che cos'è il valore assoluto?
Metti un numero sulla retta. Conta i passi fino allo 0. Quel numero di passi è il suo valore assoluto. Si scrive con due barre: |x|.
Quindi |5| = 5 e |-5| = 5. Entrambi sono a 5 passi dallo 0. |0| = 0.
In simboli: |x| = x se x è 0 o positivo, e |x| = -x se x è negativo. Il "meno" in -x trasforma un numero negativo in positivo, quindi |x| non va mai sotto lo 0.
Distanza tra due numeri: |x - a|
La distanza tra x e a sulla retta è |x - a|. È uguale a |a - x|. Esempio: la distanza da 2 a 9 è |9 - 2| = 7. Da -4 a 3 è |3 - (-4)| = 7.
Ricorda: |x| è solo |x - 0|, la distanza dallo 0.
Risolvere |x + a| = b
Leggi |x - c| = b così: "x è a b passi da c". Vai di b passi a destra e di b passi a sinistra da c. Ci sono due risposte: x = c + b e x = c - b.
Per |x + 3| = 5: scrivilo come |x - (-3)| = 5. Allora x = -3 + 5 = 2 oppure x = -3 - 5 = -8. Controllo: |2 + 3| = 5 e |-8 + 3| = 5.
Se b è negativo, non c'è nessuna risposta, perché una distanza non può essere negativa. Se b = 0, c'è una sola risposta: x = c.
Gli intervalli sulla retta
Un intervallo è l'insieme di tutti i numeri tra due estremi.
- [a, b] chiuso: a e b sono inclusi (punti pieni). Significa a ≤ x ≤ b.
- (a, b) aperto: a e b non sono inclusi (punti vuoti). Significa a < x < b.
- [a, b) e (a, b] sono semiaperti.
- (a, ∞): tutto ciò che sta sopra a. Il segno ∞ vuol dire "continua all'infinito". Vuole sempre la parentesi tonda.
Il legame con il valore assoluto: |x - c| < r significa c - r < x < c + r, cioè l'intervallo (c - r, c + r). E |x - c| > r significa che x è fuori: x < c - r oppure x > c + r.
Prova tu: cammina sulla retta
Disegna una retta sul pavimento con il gesso e segna da -5 a 5. Mettiti sullo 0. Fai 4 passi a destra, poi torna allo 0 e fai 4 passi a sinistra. Dove sei? In 4 e in -4. Per entrambi |x| = 4. Ora prova a indovinare prima di muovere il cursore: dove deve stare x perché |x - 2| = 3? Controlla nel 3D.
Formule e definizioni chiave
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distanza tra x e a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b oppure x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r oppure x > c + r
- [a, b] include entrambi gli estremi; (a, b) non include nessuno dei due
Esempi svolti
1. Trova |-7|, |4| e |0|.
|-7| = 7 (a 7 passi dallo 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Trova la distanza tra -2 e 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Risolvi |x| = 6.
x è a 6 passi dallo 0, quindi x = 6 oppure x = -6.
4. Risolvi |x + 4| = 3.
Scrivilo come |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 oppure x = -4 - 3 = -7. Controllo: |-1 + 4| = 3 e |-7 + 4| = 3.
5. Scrivi 2 < x ≤ 9 come intervallo e di' quali punti sono pieni.
(2, 9]. Il punto in 2 è vuoto (2 non è incluso). Il punto in 9 è pieno.
6. Risolvi |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 dà x = 6. 2x - 5 = -7 dà x = -1. Controllo: |12 - 5| = 7 e |-2 - 5| = 7.
7. Scrivi |x - 1| < 3 come intervallo.
1 - 3 < x < 1 + 3, quindi (-2, 4).
8. Risolvi |x - 2| = |x + 6|.
x è alla stessa distanza da 2 e da -6, quindi è il punto di mezzo: (2 + (-6)) / 2 = -2. Controllo: |-4| = 4 e |4| = 4.
Errori comuni
- Scrivere |-5| = -5. Il valore assoluto non è mai negativo: |-5| = 5.
- Dare una sola risposta per |x - c| = b. I posti sono due, c + b e c - b.
- Mettere una parentesi quadra accanto a ∞. L'infinito non è un numero, quindi si scrive sempre ∞).
- Risolvere |x + 3| = 5 come x = 3 + 5. Il centro è -3, non 3. Scrivi x + 3 come x - (-3).