O que é módulo (valor absoluto)?
Coloque um número na reta numérica. Conte os passos até o 0. Essa contagem é o seu módulo (ou valor absoluto). Escrevemos com duas barras: |x|.
Então |5| = 5 e |-5| = 5. Os dois estão a 5 passos do 0. E |0| = 0.
Em símbolos: |x| = x se x é 0 ou positivo, e |x| = -x se x é negativo. O "menos" em -x transforma um número negativo em positivo, então |x| nunca fica abaixo de 0.
Distância entre dois números: |x - a|
A distância entre x e a na reta é |x - a|. Ela é igual a |a - x|. Exemplo: a distância de 2 até 9 é |9 - 2| = 7. De -4 até 3 é |3 - (-4)| = 7.
Lembre-se: |x| é só |x - 0|, a distância até 0.
Resolvendo |x + a| = b
Leia |x - c| = b assim: "x está a b passos de c". Ande b passos para a direita e b passos para a esquerda de c. Há duas respostas: x = c + b e x = c - b.
Para |x + 3| = 5: escreva como |x - (-3)| = 5. Então x = -3 + 5 = 2 ou x = -3 - 5 = -8. Confira: |2 + 3| = 5 e |-8 + 3| = 5.
Se b é negativo, não há resposta, porque uma distância não pode ser negativa. Se b = 0, há uma só resposta: x = c.
Intervalos na reta numérica
Um intervalo é o conjunto de todos os números entre dois extremos.
- [a, b] fechado: a e b estão incluídos (bolinhas cheias). Significa a ≤ x ≤ b.
- (a, b) aberto: a e b não estão incluídos (bolinhas vazias). Significa a < x < b.
- [a, b) e (a, b] são semiabertos.
- (a, ∞): tudo que está acima de a. O sinal ∞ quer dizer "continua para sempre". Ele sempre recebe parêntese.
Ligação com o módulo: |x - c| < r quer dizer c - r < x < c + r, o intervalo (c - r, c + r). E |x - c| > r quer dizer que x está fora dele: x < c - r ou x > c + r.
Experimente: caminhe pela reta
Desenhe uma reta no chão com giz e marque de -5 a 5. Fique em cima do 0. Dê 4 passos para a direita, volte ao 0 e dê 4 passos para a esquerda. Onde você está? No 4 e no -4. Os dois são |x| = 4. Agora tente adivinhar antes de mexer no controle: onde x precisa estar para que |x - 2| = 3? Confira no 3D.
Fórmulas e definições principais
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distance between x and a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b or x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r or x > c + r
- [a, b] includes both ends; (a, b) includes neither
Exemplos resolvidos
1. Encontre |-7|, |4| e |0|.
|-7| = 7 (7 passos até o 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Encontre a distância entre -2 e 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Resolva |x| = 6.
x está a 6 passos do 0, então x = 6 ou x = -6.
4. Resolva |x + 4| = 3.
Escreva como |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 ou x = -4 - 3 = -7. Confira: |-1 + 4| = 3 e |-7 + 4| = 3.
5. Escreva 2 < x ≤ 9 como intervalo e diga quais bolinhas são cheias.
(2, 9]. A bolinha no 2 é vazia (o 2 não está incluído). A bolinha no 9 é cheia.
6. Resolva |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 dá x = 6. 2x - 5 = -7 dá x = -1. Confira: |12 - 5| = 7 e |-2 - 5| = 7.
7. Escreva |x - 1| < 3 como intervalo.
1 - 3 < x < 1 + 3, então (-2, 4).
8. Resolva |x - 2| = |x + 6|.
x está à mesma distância de 2 e de -6, então é o ponto do meio: (2 + (-6)) / 2 = -2. Confira: |-4| = 4 e |4| = 4.
Erros comuns
- Escrever |-5| = -5. O módulo nunca é negativo: |-5| = 5.
- Dar só uma resposta para |x - c| = b. Há dois lugares, c + b e c - b.
- Colocar colchete ao lado do ∞. O infinito não é um número, então use sempre ∞).
- Resolver |x + 3| = 5 como x = 3 + 5. O centro é -3, não 3. Escreva x + 3 como x - (-3).