絶対値とは?
数直線の上に数を置きます。0まで何歩か数えます。その歩数がその数の絶対値です。2本の縦棒を使って|x|と書きます。
だから |5| = 5、|-5| = 5 です。どちらも0から5歩です。|0| = 0 です。
記号で書くと、xが0か正のとき |x| = x、xが負のとき |x| = -x です。-xのマイナスは負の数を正の数に変えるので、|x|は0より小さくなりません。
2つの数の間の距離 |x - a|
数直線上のxとaの距離は|x - a|です。|a - x|と同じ値になります。例: 2から9までの距離は |9 - 2| = 7。-4から3までは |3 - (-4)| = 7 です。
覚えておこう: |x|は|x - 0|、つまり0からの距離のことです。
|x + a| = b の解き方
|x - c| = b は「xはcからb歩のところ」と読みます。cから右にb歩、左にb歩進みます。答えは2つ、x = c + b と x = c - b です。
|x + 3| = 5 の場合は、|x - (-3)| = 5 と書き直します。すると x = -3 + 5 = 2 または x = -3 - 5 = -8 です。確かめ: |2 + 3| = 5、|-8 + 3| = 5。
bが負なら答えはありません。距離は負にならないからです。b = 0 なら答えは1つ、x = c です。
数直線上の区間
区間とは、2つの端の間にあるすべての数のことです。
- [a, b] 閉区間: aとbを含みます(塗りつぶした点)。a ≤ x ≤ b という意味です。
- (a, b) 開区間: aとbを含みません(白い点)。a < x < b という意味です。
- [a, b) と (a, b] は半開区間です。
- (a, ∞): aより大きいものすべて。記号∞は「どこまでも続く」という意味で、いつも丸括弧をつけます。
絶対値とのつながり: |x - c| < r は c - r < x < c + r、つまり区間(c - r, c + r)のことです。そして |x - c| > r は、xがその外側にあること、x < c - r または x > c + r を表します。
やってみよう: 数直線を歩く
床にチョークで線を引いて、-5から5まで印をつけます。0に立ちます。右に4歩進み、0に戻って、今度は左に4歩進みます。どこにいますか? 4と-4です。どちらも |x| = 4 です。では動かす前に予想してみよう。|x - 2| = 3 になるには、xはどこにあればいいでしょう? 3Dで確かめよう。
重要な公式と用語
- |x| = x (x ≥ 0 のとき); |x| = -x (x < 0 のとき)
- |x - a| = xとaの間の距離
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b または x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r または x > c + r
- [a, b] は両端を含む; (a, b) はどちらも含まない
例題
1. |-7|、|4|、|0|を求めなさい。
|-7| = 7 (0から7歩)。|4| = 4。|0| = 0。
2. -2と5の間の距離を求めなさい。
|5 - (-2)| = |7| = 7。
3. |x| = 6 を解きなさい。
xは0から6歩のところなので、x = 6 または x = -6。
4. |x + 4| = 3 を解きなさい。
|x - (-4)| = 3 と書き直す。x = -4 + 3 = -1 または x = -4 - 3 = -7。確かめ: |-1 + 4| = 3、|-7 + 4| = 3。
5. 2 < x ≤ 9 を区間で書き、どの点が塗りつぶしか答えなさい。
(2, 9]。2の点は白(2は含まない)。9の点は塗りつぶし。
6. |2x - 5| = 7 を解きなさい。
2x - 5 = 7 から x = 6。2x - 5 = -7 から x = -1。確かめ: |12 - 5| = 7、|-2 - 5| = 7。
7. |x - 1| < 3 を区間で書きなさい。
1 - 3 < x < 1 + 3 なので、(-2, 4)。
8. |x - 2| = |x + 6| を解きなさい。
xは2からも-6からも同じ距離なので、ちょうど真ん中: (2 + (-6)) / 2 = -2。確かめ: |-4| = 4、|4| = 4。
よくある間違い
- |-5| = -5 と書いてしまう。絶対値は負になりません。|-5| = 5 です。
- |x - c| = b の答えを1つしか書かない。場所は2つ、c + b と c - b です。
- ∞の隣に角括弧をつける。無限大は数ではないので、いつも ∞) と書きます。
- |x + 3| = 5 を x = 3 + 5 と解く。中心は3ではなく-3です。x + 3 を x - (-3) と書き直しましょう。