¿Qué es el valor absoluto?
Pon un número en la recta numérica. Cuenta los pasos hasta el 0. Ese número de pasos es su valor absoluto. Lo escribimos con dos barras: |x|.
Así, |5| = 5 y |-5| = 5. Los dos están a 5 pasos del 0. |0| = 0.
En símbolos: |x| = x si x es 0 o positivo, y |x| = -x si x es negativo. El "menos" de -x convierte un número negativo en positivo, así que |x| nunca es menor que 0.
Distancia entre dos números: |x - a|
La distancia entre x y a en la recta es |x - a|. Es igual a |a - x|. Ejemplo: la distancia de 2 a 9 es |9 - 2| = 7. De -4 a 3 es |3 - (-4)| = 7.
Recuerda: |x| es solo |x - 0|, la distancia al 0.
Cómo resolver |x + a| = b
Lee |x - c| = b así: "x está a b pasos de c". Avanza b pasos a la derecha y b pasos a la izquierda desde c. Hay dos respuestas: x = c + b y x = c - b.
Para |x + 3| = 5: escríbelo como |x - (-3)| = 5. Entonces x = -3 + 5 = 2 o x = -3 - 5 = -8. Comprobación: |2 + 3| = 5 y |-8 + 3| = 5.
Si b es negativo, no hay respuesta, porque una distancia no puede ser negativa. Si b = 0, hay una sola respuesta: x = c.
Intervalos en la recta numérica
Un intervalo es el conjunto de todos los números entre dos extremos.
- [a, b] cerrado: a y b entran (puntos llenos). Significa a ≤ x ≤ b.
- (a, b) abierto: a y b no entran (puntos vacíos). Significa a < x < b.
- [a, b) y (a, b] son semiabiertos.
- (a, ∞): todo lo que está por encima de a. El signo ∞ significa "sigue para siempre". Siempre lleva paréntesis.
Relación con el valor absoluto: |x - c| < r significa c - r < x < c + r, es decir, el intervalo (c - r, c + r). Y |x - c| > r significa que x está fuera: x < c - r o x > c + r.
Pruébalo: camina por la recta
Dibuja una línea en el piso con una tiza y marca del -5 al 5. Párate en el 0. Da 4 pasos a la derecha, vuelve al 0 y da 4 pasos a la izquierda. ¿Dónde estás? En 4 y en -4. Los dos cumplen |x| = 4. Ahora adivina antes de mover el control: ¿dónde debe estar x para que |x - 2| = 3? Compruébalo en el 3D.
Fórmulas y definiciones clave
- |x| = x si x ≥ 0; |x| = -x si x < 0
- |x - a| = distancia entre x y a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b o x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r o x > c + r
- [a, b] incluye los dos extremos; (a, b) no incluye ninguno
Ejemplos resueltos
1. Halla |-7|, |4| y |0|.
|-7| = 7 (7 pasos desde el 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Halla la distancia entre -2 y 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Resuelve |x| = 6.
x está a 6 pasos del 0, así que x = 6 o x = -6.
4. Resuelve |x + 4| = 3.
Escríbelo como |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 o x = -4 - 3 = -7. Comprobación: |-1 + 4| = 3 y |-7 + 4| = 3.
5. Escribe 2 < x ≤ 9 como intervalo y di qué puntos están llenos.
(2, 9]. El punto del 2 está vacío (el 2 no entra). El punto del 9 está lleno.
6. Resuelve |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 da x = 6. 2x - 5 = -7 da x = -1. Comprobación: |12 - 5| = 7 y |-2 - 5| = 7.
7. Escribe |x - 1| < 3 como intervalo.
1 - 3 < x < 1 + 3, así que (-2, 4).
8. Resuelve |x - 2| = |x + 6|.
x está a la misma distancia de 2 y de -6, así que es el punto medio: (2 + (-6)) / 2 = -2. Comprobación: |-4| = 4 y |4| = 4.
Errores comunes
- Escribir |-5| = -5. El valor absoluto nunca es negativo: |-5| = 5.
- Dar una sola respuesta para |x - c| = b. Hay dos lugares, c + b y c - b.
- Poner un corchete junto al ∞. El infinito no es un número, así que siempre se escribe ∞).
- Resolver |x + 3| = 5 como x = 3 + 5. El centro es -3, no 3. Escribe x + 3 como x - (-3).