C'est quoi la valeur absolue ?
Place un nombre sur la droite graduée. Compte les pas jusqu'à 0. Ce nombre de pas est sa valeur absolue. On l'écrit avec deux barres : |x|.
Donc |5| = 5 et |-5| = 5. Les deux sont à 5 pas de 0. |0| = 0.
En symboles : |x| = x si x est 0 ou positif, et |x| = -x si x est négatif. Le « moins » dans -x transforme un nombre négatif en nombre positif, donc |x| n'est jamais en dessous de 0.
Distance entre deux nombres : |x - a|
La distance entre x et a sur la droite est |x - a|. C'est la même chose que |a - x|. Exemple : la distance de 2 à 9 est |9 - 2| = 7. De -4 à 3, c'est |3 - (-4)| = 7.
Retiens : |x| n'est autre que |x - 0|, la distance à 0.
Résoudre |x + a| = b
Lis |x - c| = b ainsi : « x est à b pas de c ». Avance de b pas vers la droite et de b pas vers la gauche à partir de c. Il y a deux réponses : x = c + b et x = c - b.
Pour |x + 3| = 5 : écris |x - (-3)| = 5. Donc x = -3 + 5 = 2 ou x = -3 - 5 = -8. Vérification : |2 + 3| = 5 et |-8 + 3| = 5.
Si b est négatif, il n'y a aucune réponse, car une distance ne peut pas être négative. Si b = 0, il y a une seule réponse : x = c.
Les intervalles sur la droite graduée
Un intervalle est l'ensemble de tous les nombres entre deux bornes.
- [a, b] fermé : a et b sont inclus (points pleins). Cela veut dire a ≤ x ≤ b.
- (a, b) ouvert : a et b ne sont pas inclus (points vides). Cela veut dire a < x < b.
- [a, b) et (a, b] sont semi-ouverts.
- (a, ∞) : tout ce qui est au-dessus de a. Le signe ∞ veut dire « continue sans fin ». Il prend toujours un crochet rond.
Lien avec la valeur absolue : |x - c| < r veut dire c - r < x < c + r, c'est-à-dire l'intervalle (c - r, c + r). Et |x - c| > r veut dire que x est en dehors : x < c - r ou x > c + r.
Note : en France, on écrit souvent les crochets ouverts à l'envers, par exemple ]a, b[ au lieu de (a, b). C'est le même sens.
À toi : marche sur la droite
Trace une droite au sol avec une craie et marque de -5 à 5. Mets-toi sur 0. Fais 4 pas à droite, puis reviens à 0 et fais 4 pas à gauche. Où es-tu ? En 4 et en -4. Les deux vérifient |x| = 4. Maintenant, devine avant de faire glisser : où doit être x pour que |x - 2| = 3 ? Vérifie dans la 3D.
Formules et définitions clés
- |x| = x si x ≥ 0; |x| = -x si x < 0
- |x - a| = distance entre x et a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b ou x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r ou x > c + r
- [a, b] inclut les deux bornes ; (a, b) n’en inclut aucune
Exemples résolus
1. Trouve |-7|, |4| et |0|.
|-7| = 7 (7 pas de 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Trouve la distance entre -2 et 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Résous |x| = 6.
x est à 6 pas de 0, donc x = 6 ou x = -6.
4. Résous |x + 4| = 3.
Écris |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 ou x = -4 - 3 = -7. Vérification : |-1 + 4| = 3 et |-7 + 4| = 3.
5. Écris 2 < x ≤ 9 sous forme d'intervalle et dis quels points sont pleins.
(2, 9]. Le point en 2 est vide (2 n'est pas inclus). Le point en 9 est plein.
6. Résous |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 donne x = 6. 2x - 5 = -7 donne x = -1. Vérification : |12 - 5| = 7 et |-2 - 5| = 7.
7. Écris |x - 1| < 3 sous forme d'intervalle.
1 - 3 < x < 1 + 3, donc (-2, 4).
8. Résous |x - 2| = |x + 6|.
x est à la même distance de 2 et de -6, donc c'est le milieu : (2 + (-6)) / 2 = -2. Vérification : |-4| = 4 et |4| = 4.
Erreurs fréquentes
- Écrire |-5| = -5. La valeur absolue n'est jamais négative : |-5| = 5.
- Ne donner qu'une seule réponse pour |x - c| = b. Il y a deux endroits, c + b et c - b.
- Mettre un crochet fermé à côté de ∞. L'infini n'est pas un nombre, donc on écrit toujours ∞).
- Résoudre |x + 3| = 5 comme x = 3 + 5. Le centre est -3, pas 3. Écris x + 3 sous la forme x - (-3).