什么是绝对值？
在数轴上放一个数，数一数它到 0 有几步。这个步数就是它的绝对值。我们用两条竖线来写：|x|。
所以 |5| = 5，|-5| = 5。它们都离 0 有 5 步。|0| = 0。
用符号写：x 是 0 或正数时，|x| = x；x 是负数时，|x| = -x。-x 前面的“负号”会把负数变成正数，所以 |x| 永远不会小于 0。
两个数之间的距离：|x - a|
数轴上 x 和 a 之间的距离是 |x - a|，它和 |a - x| 一样大。例子：2 到 9 的距离是 |9 - 2| = 7。-4 到 3 的距离是 |3 - (-4)| = 7。
记住：|x| 其实就是 |x - 0|，也就是到 0 的距离。
解方程 |x + a| = b
把 |x - c| = b 读成：“x 离 c 有 b 步”。从 c 出发，向右走 b 步，再向左走 b 步，所以有两个答案：x = c + b 和 x = c - b。
看 |x + 3| = 5：先写成 |x - (-3)| = 5。于是 x = -3 + 5 = 2，或 x = -3 - 5 = -8。检验：|2 + 3| = 5，|-8 + 3| = 5。
如果 b 是负数，就没有答案，因为距离不可能是负数。如果 b = 0，只有一个答案：x = c。
数轴上的区间
区间就是两个端点之间的所有数。
- [a, b] 闭区间：包含 a 和 b（实心点）。意思是 a ≤ x ≤ b。
- (a, b) 开区间：不包含 a 和 b（空心点）。意思是 a < x < b。
- [a, b) 和 (a, b] 是半开半闭区间。
- (a, ∞)：比 a 大的所有数。符号 ∞ 表示“一直延伸下去”，它旁边永远用圆括号。
和绝对值的联系：|x - c| < r 就是 c - r < x < c + r，也就是区间 (c - r, c + r)。而 |x - c| > r 表示 x 在这个区间外面：x < c - r 或 x > c + r。
动手试试：在数轴上走一走
用粉笔在地上画一条线，标出 -5 到 5。站在 0 上，向右走 4 步，再回到 0，向左走 4 步。你在哪里？在 4 和 -4。它们都满足 |x| = 4。现在先猜一猜再滑动：x 在哪里才能使 |x - 2| = 3？用 3D 场景检查一下。
重点公式和概念
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distance between x and a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b or x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r or x > c + r
- [a, b] includes both ends; (a, b) includes neither
例题讲解
1. 求 |-7|、|4| 和 |0|。
|-7| = 7（离 0 有 7 步）。|4| = 4。|0| = 0。
2. 求 -2 和 5 之间的距离。
|5 - (-2)| = |7| = 7。
3. 解 |x| = 6。
x 离 0 有 6 步，所以 x = 6 或 x = -6。
4. 解 |x + 4| = 3。
写成 |x - (-4)| = 3。x = -4 + 3 = -1，或 x = -4 - 3 = -7。检验：|-1 + 4| = 3，|-7 + 4| = 3。
5. 把 2 < x ≤ 9 写成区间，并说明哪个点是实心的。
(2, 9]。2 处是空心点（不包含 2）。9 处是实心点。
6. 解 |2x - 5| = 7。
2x - 5 = 7 得 x = 6。2x - 5 = -7 得 x = -1。检验：|12 - 5| = 7，|-2 - 5| = 7。
7. 把 |x - 1| < 3 写成区间。
1 - 3 < x < 1 + 3，所以是 (-2, 4)。
8. 解 |x - 2| = |x + 6|。
x 到 2 和到 -6 的距离相等，所以 x 在它们正中间：(2 + (-6)) / 2 = -2。检验：|-4| = 4，|4| = 4。
常见错误
- 把 |-5| 写成 -5。绝对值永远不是负数：|-5| = 5。
- 解 |x - c| = b 时只写一个答案。其实有两个位置，c + b 和 c - b。
- 在 ∞ 旁边用方括号。无穷大不是一个数，所以永远写成 ∞)。
- 把 |x + 3| = 5 解成 x = 3 + 5。中心是 -3，不是 3。要把 x + 3 写成 x - (-3)。