什么是方程组？
方程组是含有相同未知数的一组方程。方程组的解必须让每一个方程同时成立。对于两条直线来说，解就是两条直线相交的那个点。两条直线可能相交于一点（一个解），也可能因为平行而永远不相交（无解），还可能是同一条直线（有无数个解）。
例子：x + y = 5 和 x − y = 1。试试 (3, 2)：3 + 2 = 5，3 − 2 = 1。两个都成立，所以 (3, 2) 是这个方程组的解。
“同解”是什么意思？
如果两个方程组的解集完全相同，不多一个，也不少一个，它们就是同解方程组。它们看起来可以很不一样。比如 {x + y = 5, x − y = 1} 和 {x = 3, y = 2} 是同解的，因为两个方程组都只有一个解 (3, 2)。
我们把难的方程组变成同解的简单方程组，这样求出来的答案对原来的难题也是正确的。
安全变形（同解变形）
- 交换两个方程。方程的顺序不重要。
- 把一个方程乘以一个不为零的数。直线上的每个点仍然在直线上。
- 把一个方程的若干倍加到另一个方程上。原来的交点能让两个方程都成立，所以也能让相加后的方程成立。
不安全的变形：乘以 0（方程变成 0 = 0，什么信息也没有了），或者只改变方程的一边。两边平方也可能增加错误的答案，所以最后一定要检验。
用消元法解方程组
消元法就是用一连串安全变形去掉一个未知数。
- 写出方程组。例如：2x + 3y = 12 和 4x − y = 10。
- 把第二个方程乘以 3：12x − 3y = 30。
- 与第一个方程相加：14x = 42，所以 x = 3。
- 把 x = 3 代入 4x − y = 10：12 − y = 10，所以 y = 2。
- 把答案代入两个原方程检验。
每一个新方程组都与前一个同解，所以 (3, 2) 也是第一个方程组的答案。
动手试一试
先猜，再验证：在 3D 自由练习里拖动滑块 k。拖动之前，先说说你觉得交点会怎样。然后找出让蓝线变成竖直的 k。接着按下“乘以 0”按钮，看看为什么它不是安全变形。
重点公式和概念
- 方程组：所有方程同时成立
- 同解方程组：解集相同
- 新方程 2 = （方程 2）+ k ×（方程 1）
- 只有 c ≠ 0 时才能乘以 c
- 消元法：让某个未知数的系数互为相反数，再相加
例题讲解
1. 解方程组 x + y = 7 和 x − y = 1。
两个方程相加：2x = 8，所以 x = 4。然后 y = 7 − 4 = 3。检验：4 + 3 = 7，4 − 3 = 1。解为 (4, 3)。
2. 解方程组 3x + y = 10 和 x + y = 4。
用第一个方程减去第二个方程：2x = 6，所以 x = 3。然后 y = 4 − 3 = 1。检验：9 + 1 = 10，3 + 1 = 4。解为 (3, 1)。
3. 说明 {x + y = 5, x − y = 1} 与 {x = 3, x + y = 5} 是同解的。
把原来的两个方程相加得 2x = 6，所以 x = 3。再保留 x + y = 5。新方程组是由安全变形得到的，它的解是 x = 3，y = 2。两个方程组都只有 (3, 2) 这一个解。
4. 解方程组 2x + 3y = 12 和 4x − y = 10。
把第二个方程乘以 3：12x − 3y = 30。与第一个方程相加：14x = 42，所以 x = 3。然后 4(3) − y = 10，得 y = 2。解为 (3, 2)。
5. 在方程组 x + y = 5，x − y = 1 中，把方程 2 换成（方程 2）+ 2 ×（方程 1）。写出新方程，并检验原来的解。
新方程：(x − y) + 2(x + y) = 1 + 10，即 3x + y = 11。检验 (3, 2)：9 + 2 = 11。成立，所以原来的解保留了下来。
常见错误
- 只把方程的一边乘以某个数。
- 把方程乘以 0。方程变成 0 = 0，信息就丢失了。
- 把两个方程相加时，忘了把右边也相加。
- 没有把答案代回原方程组检验，尤其是在平方之后。