什么是应用题?
应用题是一个带数字的小故事,其中有一个或几个数字被藏起来了。我们的任务就是把它们找出来。
用算术也可以靠试数字找到答案。代数更快也更可靠:我们给藏起来的数一个字母(比如 x),然后像对待其他数一样去计算。这个字母叫作未知数或变量。
看上面的 3D 天平。小米的铅笔是一堆蓝色的 x 个方块。左盘放着所有铅笔,右盘放着 13。两个盘子一样重,说明方程成立。
代数方法的四个步骤
- 设未知数。写清楚它到底表示什么,例如:设 x = 小米的铅笔数。别忘了单位。
- 列方程。把故事用数学语言说出来。多表示 +,少表示 −,倍或两倍表示 ×,是或一共常常表示 =。
- 解方程。对两边做同样的事,直到 x 单独留在一边。
- 检验。把答案代入故事,而不是只代入你的方程。然后用一句完整的话写出答案,带上单位。
翻译时要仔细:比 x 多 5 是 x + 5,但比 x 少 5 是 x − 5,而 5 比 x 少多少要写成 5 − x。
常见的应用题类型
数字和年龄问题
两个连续的数:x 和 x + 1。三个连续的偶数:x、x + 2、x + 4。年龄问题要记住,过了 n 年,每个人都大了 n 岁。
行程问题
路程 = 速度 × 时间。如果两个人相向而行,他们的速度相加。在河里,船顺水的速度是(船速 + 水速),逆水的速度是(船速 − 水速)。
工程问题
如果一个水龙头 6 小时能把水箱灌满,那么 1 小时就灌满水箱的 1/6。把一小时内完成的部分加起来,再求出全部需要的时间。
百分数和混合问题
部分是整体的百分之几:部分 = (p/100) × 整体。把每份混合物里纯物质的量加起来,就能列出方程。
图形问题
用面积 = 长 × 宽,周长 = 2(长 + 宽)。题目常常会告诉你一条边和另一条边的关系。
两个未知数和一元二次方程
有时故事里有两个被藏起来的数,比如一支笔的价钱和一本笔记本的价钱。这时我们用两个字母,列出两个方程,再用加法、减法或代入法来解(这叫二元一次方程组)。
有时方程里会出现 x²。例如,一个长方形的长是 (w + 3),面积是 40,那么 w(w + 3) = 40,化简得 w² + 3w − 40 = 0。解出来有两个根,但故事可能只允许其中一个。长度不能是负数,所以要舍去那个负根。每个根都要放回故事里试一试。
动手试试:在家做一个天平
拿一把尺子和一支铅笔做成跷跷板,再准备两个小杯子和 20 颗一样的硬币或豆子。在一个杯子里放一些豆子,用布盖住:这个数就是 x。请朋友把同样的杯子放在另一边,并在一边再加 3 颗豆子。先预测:如果另一边有 13 颗时跷跷板刚好平衡,杯子里有多少颗豆子?然后掀开布检验。把你用过的方程写下来。
重点公式和概念
- 步骤:设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验
- 连续的数:x, x + 1, x + 2
- 路程 = 速度 × 时间
- 相向而行:(速度 A + 速度 B) × 时间 = 路程
- 河流:顺水 = 船速 + 水速,逆水 = 船速 − 水速
- 工程:每小时完成的部分相加;一起做的时间 = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- 长方形:面积 = 长 × 宽,周长 = 2(长 + 宽)
例题讲解
1. 两个连续的数之和是 41,求这两个数。
设较小的数为 x,下一个数是 x + 1。方程:x + (x + 1) = 41,所以 2x + 1 = 41,2x = 40,x = 20。这两个数是 20 和 21。检验:20 + 21 = 41。
2. 父亲的年龄是儿子的 4 倍。5 年后,两人的年龄之和是 55。求他们现在的年龄。
设儿子 x 岁,父亲 4x 岁。5 年后:(x + 5) + (4x + 5) = 55,所以 5x + 10 = 55,5x = 45,x = 9。儿子 9 岁,父亲 36 岁。检验:5 年后 14 + 41 = 55。
3. 两个城镇相距 180 km。两辆车同时从两地出发,相向而行,速度分别是 50 km/h 和 40 km/h。它们什么时候相遇?
设时间为 t 小时。路程:50t + 40t = 180,所以 90t = 180,t = 2。它们 2 小时后相遇。检验:100 km + 80 km = 180 km。
4. 一个水龙头 6 小时能灌满一个水箱,另一个水龙头 3 小时能灌满。两个一起开,需要多长时间?
1 小时里两个水龙头灌满水箱的 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2。所以灌满整个水箱需要 2 小时。
5. 3 支笔和 2 本笔记本一共 70 卢比。2 支笔和 3 本笔记本一共 80 卢比。求一支笔和一本笔记本的价钱。
设一支笔 p,一本笔记本 n。3p + 2n = 70,2p + 3n = 80。第一个减去第二个:p − n = −10。两个相加:5p + 5n = 150,所以 p + n = 30。又 n = p + 10,所以 2p + 10 = 30,p = 10,n = 20。一支笔 10 卢比,一本笔记本 20 卢比。检验:30 + 40 = 70,20 + 60 = 80。
6. 一个长方形的长比宽多 3 m,面积是 40 m²。求它的边长。
设宽为 w m,长是 w + 3。面积:w(w + 3) = 40,所以 w² + 3w − 40 = 0。因式分解:(w + 8)(w − 5) = 0,所以 w = −8 或 w = 5。宽不能是负数,所以 w = 5 m,长是 8 m。检验:5 × 8 = 40。
7. 一条船顺水行 36 km,再逆水返回 36 km,一共用了 9 小时。河水的流速是 3 km/h。求船在静水中的速度。
设船速为 v km/h。时间 = 路程 ÷ 速度,所以 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9。两边乘以 (v + 3)(v − 3):36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9),所以 72v = 9v² − 81,v² − 8v − 9 = 0,(v − 9)(v + 1) = 0。v = 9(速度不能是负数)。检验:36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 小时。
常见错误
- 没有说明 x 表示什么就开始列方程。一定要写:设 x = ……,并带上单位。
- 把“少”弄反。比 x 少 5 是 x − 5,不是 5 − x。
- 只在方程里检验。如果方程列错了,代入方程还是会成立。要在故事里检验。
- 保留不符合故事的答案,比如负的长度,或者 2.5 个小孩这样的半个人。