¿Qué es un problema con enunciado?
Un problema con enunciado es una historia corta con números, y uno o más de esos números están escondidos. Nuestro trabajo es encontrarlos.
La aritmética puede hallar la respuesta probando números. El álgebra es más rápida y más segura: le damos al número escondido una letra (como x) y trabajamos con ella como con cualquier otro número. A la letra se le llama incógnita o variable.
Mira la balanza 3D de arriba. Los lápices de Mia son una pila azul de x bloques. El plato izquierdo tiene todos los lápices y el derecho tiene 13. Si los platos están iguales, la ecuación es verdadera.
El método algebraico en cuatro pasos
- Nombra la incógnita. Escribe exactamente qué significa, por ejemplo: sea x = el número de lápices de Mia. No olvides la unidad.
- Ecuación. Di la historia con matemáticas. Palabras como más que significan +, menos que significan −, veces o el doble significan ×, es o en total suelen significar =.
- Resuelve. Haz lo mismo en los dos lados hasta dejar x sola.
- Comprueba. Pon la respuesta en la historia, no solo en tu ecuación. Después escribe la respuesta en una frase completa con su unidad.
Traduce con cuidado: 5 más que x es x + 5, pero 5 menos que x es x − 5 y 5 disminuido en x es 5 − x.
Tipos comunes de problemas con enunciado
Problemas de números y de edades
Dos números consecutivos: x y x + 1. Tres números pares consecutivos: x, x + 2, x + 4. En las edades, recuerda que dentro de n años todos tienen n años más.
Problemas de movimiento
distancia = velocidad × tiempo. Si dos viajeros se mueven uno hacia el otro, sus velocidades se suman. En un río, una barca va a (velocidad de la barca + velocidad del río) a favor de la corriente y a (velocidad de la barca − velocidad del río) en contra.
Problemas de trabajo
Si un grifo llena un depósito en 6 horas, en 1 hora llena 1/6 del depósito. Suma las partes que se hacen en una hora y halla el tiempo total.
Problemas de porcentajes y mezclas
Una parte es un porcentaje del total: parte = (p/100) × total. Suma las cantidades de sustancia pura de cada mezcla para armar la ecuación.
Problemas de figuras
Usa área = largo × ancho, perímetro = 2(largo + ancho). La historia suele decir cómo se relaciona un lado con el otro.
Dos incógnitas y ecuaciones cuadráticas
A veces una historia tiene dos números escondidos, como el precio de un bolígrafo y el de un cuaderno. Entonces usamos dos letras y escribimos dos ecuaciones. Las resolvemos sumando, restando o sustituyendo (un sistema de ecuaciones lineales).
A veces la ecuación tiene x². Por ejemplo, un rectángulo tiene largo (w + 3) y área 40, así que w(w + 3) = 40, que da w² + 3w − 40 = 0. Al resolver salen dos raíces, pero la historia quizá permita solo una. Una longitud no puede ser negativa, así que descartamos esa raíz. Prueba siempre cada raíz en la historia.
Pruébalo: una balanza en casa
Toma una regla y un lápiz como si fueran un balancín, dos vasitos y 20 monedas o frijoles iguales. Pon algunos frijoles en un vaso y tápalos con un paño: ese número es x. Pide a un amigo que ponga el mismo vaso del otro lado y que añada 3 frijoles en un lado. Predice primero: ¿cuántos frijoles hay en el vaso si el balancín queda nivelado cuando el otro lado tiene 13? Luego quita el paño y comprueba. Escribe la ecuación que usaste.
Fórmulas y definiciones clave
- Pasos: Nombra la incógnita → Ecuación → Resuelve → Comprueba
- Números consecutivos: x, x + 1, x + 2
- distancia = velocidad × tiempo
- Encuentro, uno hacia el otro: (velocidad A + velocidad B) × tiempo = distancia
- Río: a favor = barca + río, en contra = barca − río
- Trabajo: las partes por hora se suman; tiempo juntos = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Rectángulo: área = largo × ancho, perímetro = 2(largo + ancho)
Ejemplos resueltos
1. La suma de dos números consecutivos es 41. Encuéntralos.
Sea x el número menor. El siguiente es x + 1. Ecuación: x + (x + 1) = 41, así que 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Los números son 20 y 21. Comprobación: 20 + 21 = 41.
2. Un padre tiene 4 veces la edad de su hijo. Dentro de 5 años la suma de sus edades será 55. Halla sus edades ahora.
Sea el hijo x años y el padre 4x. Dentro de 5 años: (x + 5) + (4x + 5) = 55, así que 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Hijo 9, padre 36. Comprobación: dentro de 5 años 14 + 41 = 55.
3. Dos ciudades están a 180 km. De cada ciudad sale un coche al mismo tiempo, uno hacia el otro, a 50 km/h y a 40 km/h. ¿Cuándo se encuentran?
Sea t las horas. Distancias: 50t + 40t = 180, así que 90t = 180, t = 2. Se encuentran después de 2 horas. Comprobación: 100 km + 80 km = 180 km.
4. Un grifo llena un depósito en 6 horas. Un segundo grifo lo llena en 3 horas. ¿Cuánto tardan juntos?
En 1 hora los grifos llenan 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 del depósito. Entonces el depósito entero tarda 2 horas.
5. 3 bolígrafos y 2 cuadernos cuestan Rs 70. 2 bolígrafos y 3 cuadernos cuestan Rs 80. Halla el precio de un bolígrafo y de un cuaderno.
Sea p el precio de un bolígrafo y n el de un cuaderno. 3p + 2n = 70 y 2p + 3n = 80. Resta la segunda de la primera: p − n = −10. Súmalas: 5p + 5n = 150, así que p + n = 30. Entonces n = p + 10, luego 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Un bolígrafo cuesta Rs 10 y un cuaderno Rs 20. Comprobación: 30 + 40 = 70 y 20 + 60 = 80.
6. Un rectángulo es 3 m más largo que ancho. Su área es 40 m². Halla sus lados.
Sea w m el ancho. El largo es w + 3. Área: w(w + 3) = 40, así que w² + 3w − 40 = 0. Factoriza: (w + 8)(w − 5) = 0, así que w = −8 o w = 5. Un ancho no puede ser negativo, así que w = 5 m y el largo es 8 m. Comprobación: 5 × 8 = 40.
7. Una barca recorre 36 km a favor de la corriente y 36 km de vuelta en contra, en 9 horas en total. El río fluye a 3 km/h. Halla la velocidad de la barca en aguas tranquilas.
Sea v km/h la velocidad de la barca. Tiempo = distancia ÷ velocidad, así que 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Multiplica por (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), así que 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (la velocidad no puede ser negativa). Comprobación: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 horas.
Errores comunes
- Empezar a escribir ecuaciones sin decir qué significa x. Escribe siempre: sea x = ... con su unidad.
- Confundir 'menos que'. 5 menos que x es x − 5, no 5 − x.
- Comprobar solo en la ecuación. Si armaste mal la ecuación, igual sale bien. Comprueba en la historia.
- Quedarse con una respuesta que no encaja en la historia, como una longitud negativa o media persona (2.5 niños).