Che cos'è un problema con le parole?
Un problema è una breve storia con dei numeri, e uno o più numeri sono nascosti. Il nostro compito è trovarli.
Con l'aritmetica si può trovare la risposta provando dei numeri. L'algebra è più veloce e più sicura: diamo al numero nascosto una lettera (come x) e poi lavoriamo con lei come con qualsiasi altro numero. La lettera si chiama incognita o variabile.
Guarda la bilancia 3D qui sopra. Le matite di Mia sono una pila blu di x blocchi. Il piatto di sinistra contiene tutte le matite, quello di destra contiene 13. Piatti uguali significano equazione vera.
Il metodo algebrico in quattro passi
- Nomina l'incognita. Scrivi esattamente che cosa significa, per esempio: sia x = il numero di matite di Mia. Non dimenticare l'unità di misura.
- Equazione. Racconta la storia in linguaggio matematico. Parole come in più di significano +, in meno di significano −, volte o il doppio significano ×, è o in totale spesso significano =.
- Svolgi. Fai la stessa operazione su entrambi i lati finché x resta da sola.
- Verifica. Metti la risposta nella storia, non solo nella tua equazione. Poi scrivi la risposta in una frase completa con l'unità.
Traduci con attenzione: 5 in più di x è x + 5, ma 5 in meno di x è x − 5 e x in meno di 5 è 5 − x.
Tipi comuni di problemi
Problemi sui numeri e sulle età
Due numeri consecutivi: x e x + 1. Tre numeri pari consecutivi: x, x + 2, x + 4. Per le età, ricorda che dopo n anni tutti hanno n anni in più.
Problemi di moto
distanza = velocità × tempo. Se due viaggiatori vanno uno verso l'altro, le loro velocità si sommano. Su un fiume, una barca va a (velocità della barca + velocità del fiume) a favore di corrente e a (velocità della barca − velocità del fiume) contro corrente.
Problemi di lavoro
Se un rubinetto riempie una vasca in 6 ore, in 1 ora ne riempie 1/6. Somma le parti fatte in un'ora e trova il tempo totale.
Problemi di percentuale e miscele
Una parte è una percentuale del tutto: parte = (p/100) × tutto. Somma le quantità di sostanza pura in ogni miscela per costruire l'equazione.
Problemi di geometria
Usa area = lunghezza × larghezza, perimetro = 2(lunghezza + larghezza). La storia spesso dice come un lato è legato all'altro.
Due incognite e equazioni di secondo grado
A volte una storia ha due numeri nascosti, come il prezzo di una penna e il prezzo di un quaderno. Allora usiamo due lettere e scriviamo due equazioni. Le risolviamo sommando, sottraendo o sostituendo (un sistema di equazioni lineari).
A volte l'equazione contiene x². Per esempio, un rettangolo ha lunghezza (w + 3) e area 40, quindi w(w + 3) = 40, cioè w² + 3w − 40 = 0. Risolvendo troviamo due radici, ma la storia può ammetterne una sola. Una lunghezza non può essere negativa, quindi scartiamo quella radice. Prova sempre ogni radice nella storia.
Prova tu: una bilancia a casa
Prendi un righello e una matita come altalena, due tazzine e 20 monete o fagioli uguali. Metti dei fagioli in una tazzina e nascondili sotto un panno: quel numero è x. Chiedi a un amico di mettere la stessa tazzina sull'altro lato e di aggiungere 3 fagioli su un lato. Prima prevedi: quanti fagioli ci sono nella tazzina se l'altalena resta in equilibrio quando dall'altra parte ce ne sono 13? Poi scopri il panno e verifica. Scrivi l'equazione che hai usato.
Formule e definizioni chiave
- Passi: Nomina l'incognita → Equazione → Svolgi → Verifica
- Numeri consecutivi: x, x + 1, x + 2
- distanza = velocità × tempo
- Incontro uno verso l'altro: (velocità A + velocità B) × tempo = distanza
- Fiume: a favore = barca + fiume, contro = barca − fiume
- Lavoro: le parti per ora si sommano; tempo insieme = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Rettangolo: area = lunghezza × larghezza, perimetro = 2(lunghezza + larghezza)
Esempi svolti
1. La somma di due numeri consecutivi è 41. Trovali.
Sia x il numero più piccolo. Il successivo è x + 1. Equazione: x + (x + 1) = 41, quindi 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. I numeri sono 20 e 21. Verifica: 20 + 21 = 41.
2. Un padre ha 4 volte l'età del figlio. Tra 5 anni la somma delle loro età sarà 55. Trova le loro età di oggi.
Sia x l'età del figlio, il padre ha 4x. Tra 5 anni: (x + 5) + (4x + 5) = 55, quindi 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Figlio 9 anni, padre 36. Verifica: tra 5 anni 14 + 41 = 55.
3. Due città distano 180 km. Da ciascuna parte nello stesso momento un'auto verso l'altra, a 50 km/h e a 40 km/h. Quando si incontrano?
Sia t il tempo in ore. Distanze: 50t + 40t = 180, quindi 90t = 180, t = 2. Si incontrano dopo 2 ore. Verifica: 100 km + 80 km = 180 km.
4. Un rubinetto riempie una vasca in 6 ore. Un secondo rubinetto la riempie in 3 ore. Quanto tempo ci mettono insieme?
In 1 ora i rubinetti riempiono 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 della vasca. Quindi la vasca intera richiede 2 ore.
5. 3 penne e 2 quaderni costano Rs 70. 2 penne e 3 quaderni costano Rs 80. Trova il prezzo di una penna e di un quaderno.
Sia p il prezzo di una penna e n quello di un quaderno. 3p + 2n = 70 e 2p + 3n = 80. Sottrai la seconda dalla prima: p − n = −10. Sommale: 5p + 5n = 150, quindi p + n = 30. Allora n = p + 10, quindi 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Una penna costa Rs 10 e un quaderno Rs 20. Verifica: 30 + 40 = 70 e 20 + 60 = 80.
6. Un rettangolo è più lungo di 3 m rispetto alla larghezza. La sua area è 40 m². Trova i lati.
Sia w m la larghezza. Lunghezza w + 3. Area: w(w + 3) = 40, quindi w² + 3w − 40 = 0. Scomponi: (w + 8)(w − 5) = 0, quindi w = −8 oppure w = 5. Una larghezza non può essere negativa, quindi w = 5 m e la lunghezza è 8 m. Verifica: 5 × 8 = 40.
7. Una barca percorre 36 km a favore di corrente e 36 km per tornare contro corrente in 9 ore in tutto. Il fiume scorre a 3 km/h. Trova la velocità della barca in acqua ferma.
Sia v km/h la velocità della barca. Tempo = distanza ÷ velocità, quindi 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Moltiplica per (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), quindi 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (la velocità non può essere negativa). Verifica: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 ore.
Errori comuni
- Cominciare a scrivere equazioni senza dire che cosa significa x. Scrivi sempre: sia x = ... con l'unità.
- Confondere 'in meno di'. 5 in meno di x è x − 5, non 5 − x.
- Verificare solo nell'equazione. Se hai costruito male l'equazione, la verifica torna lo stesso. Verifica nella storia.
- Tenere una risposta che non va bene per la storia, come una lunghezza negativa o mezza persona come 2.5 bambini.