Che cos'è un sistema di equazioni?
Un sistema è un insieme di equazioni con le stesse incognite. Una soluzione deve rendere vera ogni equazione nello stesso momento. Per due rette, la soluzione è il punto in cui si incontrano. Due rette possono incontrarsi in un punto (una soluzione), non incontrarsi mai perché sono parallele (nessuna soluzione), oppure coincidere (infinite soluzioni).
Esempio: x + y = 5 e x − y = 1. Prova (3, 2): 3 + 2 = 5 e 3 − 2 = 1. Entrambe sono vere, quindi (3, 2) è la soluzione.
Che cosa vuol dire equivalente?
Due sistemi sono equivalenti se hanno esattamente lo stesso insieme di soluzioni. Nemmeno una in più, nemmeno una in meno. Possono sembrare molto diversi. Per esempio, {x + y = 5, x − y = 1} e {x = 3, y = 2} sono equivalenti, perché hanno entrambi come unica soluzione (3, 2).
Trasformiamo un sistema difficile in uno equivalente facile, così la risposta che troviamo vale anche per quello difficile.
Mosse sicure (trasformazioni equivalenti)
- Scambia due equazioni. L'ordine non conta.
- Moltiplica un'equazione per un numero diverso da zero. Ogni punto della retta resta sulla retta.
- Somma a un'equazione un multiplo di un'altra. Il vecchio punto d'incontro rende vere entrambe le equazioni, quindi rende vera anche la somma.
Mosse non sicure: moltiplicare per 0 (l'equazione diventa 0 = 0 e non dice più niente), oppure cambiare un solo membro di un'equazione. Anche elevare al quadrato entrambi i membri può aggiungere soluzioni false, quindi alla fine bisogna verificare.
Risolvere per eliminazione
L'eliminazione (o riduzione) è una catena di mosse sicure che fa sparire un'incognita.
- Scrivi il sistema. Esempio: 2x + 3y = 12 e 4x − y = 10.
- Moltiplica la seconda equazione per 3: 12x − 3y = 30.
- Sommala alla prima: 14x = 42, quindi x = 3.
- Metti x = 3 in 4x − y = 10: 12 − y = 10, quindi y = 2.
- Verifica in entrambe le equazioni di partenza.
Ogni nuovo sistema è equivalente al precedente, quindi (3, 2) è la risposta anche per il primo.
Prova tu
Prima prevedi, poi controlla: nel gioco libero in 3D muovi il cursore k. Prima di muoverlo, di' che cosa pensi che succederà al punto d'incontro. Poi trova il k che rende verticale la retta blu. Infine premi il pulsante moltiplica per 0 e guarda perché non è una mossa sicura.
Formule e definizioni chiave
- Sistema: tutte le equazioni vere insieme
- Sistemi equivalenti: stesso insieme di soluzioni
- Nuova equazione 2 = (equazione 2) + k × (equazione 1)
- Moltiplica per c solo se c ≠ 0
- Eliminazione: rendi opposti i coefficienti di un'incognita, poi somma
Esempi svolti
1. Risolvi x + y = 7 e x − y = 1.
Somma le equazioni: 2x = 8, quindi x = 4. Poi y = 7 − 4 = 3. Verifica: 4 + 3 = 7 e 4 − 3 = 1. Soluzione (4, 3).
2. Risolvi 3x + y = 10 e x + y = 4.
Sottrai la seconda dalla prima: 2x = 6, quindi x = 3. Poi y = 4 − 3 = 1. Verifica: 9 + 1 = 10 e 3 + 1 = 4. Soluzione (3, 1).
3. Mostra che {x + y = 5, x − y = 1} è equivalente a {x = 3, x + y = 5}.
Somma le due equazioni originali e ottieni 2x = 6, quindi x = 3. Tieni x + y = 5. Il nuovo sistema nasce da mosse sicure e la sua soluzione è x = 3, y = 2. Entrambi i sistemi hanno solo (3, 2).
4. Risolvi 2x + 3y = 12 e 4x − y = 10.
Moltiplica la seconda equazione per 3: 12x − 3y = 30. Sommala alla prima: 14x = 42, quindi x = 3. Poi 4(3) − y = 10 dà y = 2. Soluzione (3, 2).
5. Nel sistema x + y = 5, x − y = 1, sostituisci l'equazione 2 con (equazione 2) + 2 × (equazione 1). Scrivi la nuova equazione e verifica la vecchia soluzione.
Nuova equazione: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, quindi 3x + y = 11. Verifica (3, 2): 9 + 2 = 11. Vero, quindi la soluzione resta.
Errori comuni
- Moltiplicare per un numero un solo membro di un'equazione.
- Moltiplicare un'equazione per 0. Diventa 0 = 0 e l'informazione si perde.
- Sommare le equazioni ma dimenticare di sommare anche i termini a destra.
- Non verificare la risposta nel sistema di partenza, soprattutto dopo aver elevato al quadrato.