¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Una solución debe hacer verdadera cada ecuación al mismo tiempo. Con dos rectas, la solución es el punto donde se cruzan. Dos rectas pueden cruzarse en un punto (una solución), no encontrarse nunca por ser paralelas (ninguna solución), o ser la misma recta (infinitas soluciones).
Ejemplo: x + y = 5 y x − y = 1. Prueba (3, 2): 3 + 2 = 5 y 3 − 2 = 1. Ambas son verdaderas, así que (3, 2) es la solución.
¿Qué significa equivalente?
Dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Ni una de más, ni una de menos. Pueden verse muy distintos. Por ejemplo, {x + y = 5, x − y = 1} y {x = 3, y = 2} son equivalentes, porque los dos tienen como única solución (3, 2).
Cambiamos un sistema difícil por uno equivalente y fácil, así la respuesta que encontramos también vale para el difícil.
Pasos seguros (transformaciones equivalentes)
- Intercambiar dos ecuaciones. El orden no importa.
- Multiplicar una ecuación por un número que no sea cero. Todos los puntos de la recta siguen en la recta.
- Sumar un múltiplo de una ecuación a otra. El punto de cruce anterior hace verdaderas las dos ecuaciones, así que también hace verdadera la suma.
Pasos peligrosos: multiplicar por 0 (la ecuación se vuelve 0 = 0 y no dice nada), o cambiar solo un lado de una ecuación. Elevar al cuadrado ambos lados también puede añadir respuestas falsas, así que hay que comprobar al final.
Resolver por eliminación
La eliminación es una cadena de pasos seguros que quita una incógnita.
- Escribe el sistema. Ejemplo: 2x + 3y = 12 y 4x − y = 10.
- Multiplica la segunda ecuación por 3: 12x − 3y = 30.
- Súmala a la primera: 14x = 42, así que x = 3.
- Pon x = 3 en 4x − y = 10: 12 − y = 10, así que y = 2.
- Comprueba en las dos ecuaciones originales.
Cada sistema nuevo es equivalente al anterior, así que (3, 2) también es la respuesta del primero.
Pruébalo
Predice y luego comprueba: en el juego libre en 3D mueve el control k. Antes de moverlo, di qué crees que pasará con el punto de cruce. Después busca el k que hace vertical la recta azul. Luego pulsa el botón de multiplicar por 0 y mira por qué no es un paso seguro.
Fórmulas y definiciones clave
- Sistema: todas las ecuaciones verdaderas a la vez
- Sistemas equivalentes: mismo conjunto de soluciones
- Nueva ecuación 2 = (ecuación 2) + k × (ecuación 1)
- Multiplicar por c solo si c ≠ 0
- Eliminación: haz opuestos los coeficientes de una incógnita y luego suma
Ejemplos resueltos
1. Resuelve x + y = 7 y x − y = 1.
Suma las ecuaciones: 2x = 8, así que x = 4. Entonces y = 7 − 4 = 3. Comprobación: 4 + 3 = 7 y 4 − 3 = 1. Solución (4, 3).
2. Resuelve 3x + y = 10 y x + y = 4.
Resta la segunda a la primera: 2x = 6, así que x = 3. Entonces y = 4 − 3 = 1. Comprobación: 9 + 1 = 10 y 3 + 1 = 4. Solución (3, 1).
3. Demuestra que {x + y = 5, x − y = 1} es equivalente a {x = 3, x + y = 5}.
Suma las dos ecuaciones originales y obtienes 2x = 6, así que x = 3. Conserva x + y = 5. El sistema nuevo salió de pasos seguros y su solución es x = 3, y = 2. Los dos sistemas tienen solo (3, 2).
4. Resuelve 2x + 3y = 12 y 4x − y = 10.
Multiplica la segunda ecuación por 3: 12x − 3y = 30. Súmala a la primera: 14x = 42, así que x = 3. Entonces 4(3) − y = 10 da y = 2. Solución (3, 2).
5. En el sistema x + y = 5, x − y = 1, cambia la ecuación 2 por (ecuación 2) + 2 × (ecuación 1). Escribe la nueva ecuación y comprueba la solución anterior.
Nueva ecuación: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, así que 3x + y = 11. Comprueba (3, 2): 9 + 2 = 11. Es verdadera, así que la solución se mantiene.
Errores comunes
- Multiplicar por un número solo un lado de la ecuación.
- Multiplicar una ecuación por 0. Se vuelve 0 = 0 y se pierde la información.
- Sumar las ecuaciones pero olvidar sumar también los lados derechos.
- No comprobar la respuesta en el sistema original, sobre todo después de elevar al cuadrado.