¿Qué es un parámetro?
En x² = 9 el número 9 es fijo. En x² = a la letra a es un parámetro: un número fijo que todavía no hemos elegido. La incógnita que resolvemos sigue siendo x.
Por eso la respuesta no es un solo número. La respuesta dice cómo dependen las soluciones de a. Por ejemplo: "si a < 0 no hay solución; si a = 0 hay una; si a > 0 hay dos".
El método gráfico: desliza la recta y = a
El método gráfico en cuatro pasos:
- Pasa todo para que la ecuación quede f(x) = a (a sola en un lado).
- Dibuja la curva y = f(x) una sola vez. No depende de a.
- Dibuja la recta horizontal y = a. Al cambiar a, sube o baja.
- Cuenta los puntos de corte en cada posición. Anota los intervalos de a donde la cantidad no cambia y los valores especiales donde sí cambia.
Ejemplo: |x² − 4| = a. La curva tiene forma de W, con puntos bajos en (−2, 0), (2, 0) y un pico en (0, 4).
- a < 0: 0 soluciones
- a = 0: 2 soluciones (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 soluciones
- a = 4: 3 soluciones
- a > 4: 2 soluciones
Cuando a está dentro de la fórmula: el discriminante
En x² − 4x + a = 0 la cantidad de raíces depende del discriminante D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, es decir a < 4: dos raíces.
- D = 0, es decir a = 4: una raíz.
- D < 0, es decir a > 4: ninguna raíz real.
Para "x² + 2ax + 4 > 0 para todo x" necesitamos que no haya raíces y que la parábola quede sobre el eje: D = 4a² − 16 < 0, así que −2 < a < 2.
También puedes dibujarlo: x² − 4x = −a es la parábola con punto más bajo −4 y una recta a la altura −a.
Inecuaciones y casos
En ax > 2 el signo de a decide la respuesta, así que separamos en casos:
- a > 0: divide y mantén el signo: x > 2/a.
- a < 0: divide y cambia el signo: x < 2/a.
- a = 0: queda 0 > 2, que es falso: no hay solución.
Siempre di qué pasa en a = 0 y en los valores especiales que encontraste. Una respuesta completa enumera todos los casos.
Pruébalo: predice y luego comprueba
Abre el tablero 3D con |x − 1| + |x + 1| = a. Antes de deslizar, adivina cuántas soluciones da a = 1. Luego desliza hasta a = 1 y léelo. Prueba a = 2 y a = 3. En casa: llena un cuenco con agua y mira la superficie tocando la pared. Un cuenco profundo toca en dos lugares; un cuenco con el fondo plano puede tocar a lo largo de toda una línea. Es la misma imagen.
Fórmulas y definiciones clave
- f(x) = a: soluciones = puntos de corte de y = f(x) y y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 dos raíces, D = 0 una raíz, D < 0 ninguna
- x² + bx + c > 0 para todo x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → comprobar 0 > c
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuántas soluciones tiene x² = a?
Dibuja y = x² y la recta y = a. Si a < 0 la recta queda debajo de la curva: 0 soluciones. Si a = 0 toca en el fondo: 1 solución. Si a > 0 corta dos veces: 2 soluciones (x = ±√a).
2. ¿Para qué valores de a tiene x² − 4x + a = 0 dos raíces distintas?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Dos raíces distintas necesitan D > 0, así que 16 − 4a > 0, es decir a < 4.
3. Discute |x| = a.
La curva y = |x| es una V con la punta en (0, 0). a < 0: ninguna. a = 0: una (x = 0). a > 0: dos (x = ±a).
4. ¿Cuántas soluciones tiene |x² − 4| = a cuando a = 2?
x² − 4 = 2 da x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 da x² = 2, x = ±√2. Cuatro soluciones distintas.
5. Halla el número de soluciones de x² − 2x = a para cada a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, una parábola con punto más bajo (1, −1). a < −1: ninguna. a = −1: una (x = 1). a > −1: dos.
6. Resuelve ax > 2 para todos los valores de a.
a > 0: x > 2/a. a < 0: al dividir entre a se cambia el signo, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 es falso, así que no hay solución.
7. ¿Para qué valores de a se cumple x² + 2ax + 4 > 0 para todo x?
La parábola abre hacia arriba. Queda sobre el eje si no tiene raíz real: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, así que a² < 4, es decir −2 < a < 2.
8. ¿Para qué valores de a tiene |x − 1| + |x + 1| = a exactamente dos soluciones?
La curva es plana a altura 2 entre x = −1 y 1, y luego sube con pendiente 2 a ambos lados. a < 2: ninguna. a = 2: infinitas. a > 2: dos soluciones x = ±a/2. Entonces a > 2.
Errores comunes
- Dar un solo número como respuesta. En un problema con parámetro la respuesta es una lista de casos para a.
- Olvidar los valores especiales, como el a en que la recta toca la curva una sola vez.
- Dividir entre a sin revisar a = 0 y el signo de a.
- Contar dos veces un punto de tangencia. Un toque es una solución (raíz doble), no dos.