Wat is een parameter?
In x² = 9 ligt het getal 9 vast. In x² = a is de letter a een parameter: één vast getal dat we nog niet gekozen hebben. De onbekende waarvoor we oplossen is nog steeds x.
Het antwoord is dus niet één getal. Het antwoord zegt hoe de oplossingen van a afhangen. Bijvoorbeeld: "als a < 0 is er geen oplossing; als a = 0 is er één; als a > 0 zijn er twee".
De grafische methode: schuif de lijn y = a
Grafische methode in vier stappen:
- Werk alles zo om dat de vergelijking f(x) = a wordt (a alleen aan één kant).
- Teken één keer de kromme y = f(x). Die hangt niet van a af.
- Teken de horizontale lijn y = a. Als je a verandert, schuift de lijn omhoog of omlaag.
- Tel de snijpunten voor elke stand. Schrijf de gebieden van a op waarin het aantal gelijk blijft, en de bijzondere waarden waar het verandert.
Voorbeeld: |x² − 4| = a. De kromme heeft de vorm van een W met lage punten (−2, 0), (2, 0) en een top in (0, 4).
- a < 0: 0 oplossingen
- a = 0: 2 oplossingen (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 oplossingen
- a = 4: 3 oplossingen
- a > 4: 2 oplossingen
Als a in de formule zit: de discriminant
Bij x² − 4x + a = 0 hangt het aantal wortels af van de discriminant D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, dus a < 4: twee wortels.
- D = 0, dus a = 4: één wortel.
- D < 0, dus a > 4: geen reële wortel.
Voor "x² + 2ax + 4 > 0 voor elke x" willen we geen wortel en een parabool boven de as: D = 4a² − 16 < 0, dus −2 < a < 2.
Je kunt het ook tekenen: x² − 4x = −a is de parabool met laagste punt −4 en een lijn op hoogte −a.
Ongelijkheden en gevallen
Bij ax > 2 bepaalt het teken van a het antwoord, dus splits je in gevallen:
- a > 0: delen, teken blijft: x > 2/a.
- a < 0: delen, teken draait om: x < 2/a.
- a = 0: er staat 0 > 2, onwaar: geen oplossing.
Zeg altijd wat er gebeurt bij a = 0 en bij de bijzondere waarden die je gevonden hebt. Een volledig antwoord noemt elk geval.
Probeer het: voorspel en controleer
Open het 3D-bord bij |x − 1| + |x + 1| = a. Gok voordat je schuift hoeveel oplossingen a = 1 geeft. Schuif dan naar a = 1 en lees het af. Probeer a = 2 en a = 3. Thuis: vul een kom met water en kijk hoe het wateroppervlak de wand raakt. Een diepe kom raakt op twee plaatsen; een kom met een vlakke bodem kan langs een hele lijn raken. Dat is hetzelfde beeld.
Belangrijke formules en begrippen
- f(x) = a: oplossingen = snijpunten van y = f(x) en y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 twee wortels, D = 0 één wortel, D < 0 geen
- x² + bx + c > 0 voor alle x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → controleer 0 > c
Uitgewerkte voorbeelden
1. Hoeveel oplossingen heeft x² = a?
Teken y = x² en de lijn y = a. Als a < 0 ligt de lijn onder de kromme: 0 oplossingen. Als a = 0 raakt hij de bodem: 1 oplossing. Als a > 0 snijdt hij twee keer: 2 oplossingen (x = ±√a).
2. Voor welke a heeft x² − 4x + a = 0 twee verschillende wortels?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Twee verschillende wortels vragen D > 0, dus 16 − 4a > 0, dus a < 4.
3. Bespreek |x| = a.
De kromme y = |x| is een V met de punt in (0, 0). a < 0: geen. a = 0: één (x = 0). a > 0: twee (x = ±a).
4. Hoeveel oplossingen heeft |x² − 4| = a als a = 2?
x² − 4 = 2 geeft x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 geeft x² = 2, x = ±√2. Vier verschillende oplossingen.
5. Bepaal het aantal oplossingen van x² − 2x = a voor elke a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, een parabool met laagste punt (1, −1). a < −1: geen. a = −1: één (x = 1). a > −1: twee.
6. Los ax > 2 op voor alle waarden van a.
a > 0: x > 2/a. a < 0: delen door a draait het teken om, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 is onwaar, dus geen oplossing.
7. Voor welke a is x² + 2ax + 4 > 0 voor elke x?
De parabool is een dalparabool. Hij blijft boven de as als hij geen reële wortel heeft: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, dus a² < 4, dus −2 < a < 2.
8. Voor welke a heeft |x − 1| + |x + 1| = a precies twee oplossingen?
De kromme is vlak op hoogte 2 tussen x = −1 en 1, en stijgt daarna met helling 2 aan beide kanten. a < 2: geen. a = 2: oneindig veel. a > 2: twee oplossingen x = ±a/2. Dus a > 2.
Veelgemaakte fouten
- Eén getal als antwoord geven. Bij een parametervraag is het antwoord een lijst van gevallen voor a.
- De bijzondere waarden vergeten, zoals de a waarbij de lijn de kromme maar één keer raakt.
- Delen door a zonder a = 0 en het teken van a te controleren.
- Een raakpunt dubbel tellen. Een raakpunt is één oplossing (een dubbele wortel), niet twee.