Periodiciteit
Een functie f is periodiek als er een getal T > 0 bestaat waarvoor f(x + T) = f(x) voor elke x. Het kleinste zulke T is de periode. De grafiek is één stukje dat steeds opnieuw wordt herhaald.
- sin x en cos x: periode 2π.
- tan x: periode π.
- sin(wx): periode 2π ÷ w. Dus sin(2x) heeft periode π.
- |sin x|: periode π (de omgeklapte delen zorgen dat het twee keer zo vaak herhaalt).
Een functie zoals x² is niet periodiek: de waarden blijven groeien en komen nooit terug.
Als f periode T heeft, hoef je maar één periode te onderzoeken en kopieer je die daarna.
Monotonie: stijgen en dalen
Een functie is stijgend op een interval als de grafiek omhoog gaat terwijl x groter wordt, en dalend als hij omlaag gaat. Samen heten ze monotoon (maar één richting).
De helling vertelt het ons. De helling van de kromme in een punt schrijven we als f′(x) (de afgeleide).
- f′(x) > 0 op een interval: daar stijgend.
- f′(x) < 0 op een interval: daar dalend.
Voorbeeld: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Dit is positief voor x < −1 en x > 1 (stijgend) en negatief voor −1 < x < 1 (dalend).
Extremen: keerpunten
Een lokaal maximum is de top van een heuvel: de functie gaat omhoog en dan omlaag. Een lokaal minimum is de bodem van een dal: omlaag en dan omhoog. Samen heten ze extremen (extreem voor één).
In zo'n punt is de raaklijn vlak, dus f′(x) = 0. Zo vind je ze:
- Los f′(x) = 0 op. Dit zijn de kandidaten (kritieke punten).
- Check het teken van f′ net ervoor en net erna. Plus en dan min: maximum. Min en dan plus: minimum. Geen verandering: geen van beide (zoals x³ in 0).
Bij x³ − 3x: f′ = 0 bij x = ±1. Bij x = −1 gaat de helling van + naar −: lokaal maximum, waarde 2. Bij x = 1 gaat hij van − naar +: lokaal minimum, waarde −2.
Max en min op een interval [a, b]
Op een gesloten interval [a, b] heeft een gladde functie een grootste en een kleinste waarde. Die kunnen in een keerpunt binnenin zitten, of op een rand. Dus:
- Zoek de keerpunten (f′ = 0) die binnen [a, b] liggen. Negeer die erbuiten.
- Bereken f in die punten en in a en b.
- Het grootste getal is het maximum, het kleinste is het minimum.
Voor f = x³ − 3x op [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Max 2 bij x = −1; min −2 bij x = −2 en x = 1.
Een lokaal maximum is niet altijd het grootste op het interval: een rand kan groter zijn.
Probeer het: voorspel en controleer
Kies op het 3D-bord "Max en min op [a, b]". Gok: als a = −1.5 en b = 2, waar zit dan het maximum? Schuif a en b om het te checken. Thuis: gooi een balletje voorzichtig omhoog en kijk: het stijgt, staat even stil bovenaan (helling 0) en valt. De top is het keerpunt. Of klap in een vast ritme: de tijd tussen twee klappen is de periode.
Belangrijke formules en begrippen
- Periodiek: f(x + T) = f(x) voor alle x
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → stijgend; f′(x) < 0 → dalend
- Keerpunt: f′(x) = 0 en het teken van f′ verandert
- Max/min op [a, b]: vergelijk f(a), f(b) en f in de keerpunten binnenin
Uitgewerkte voorbeelden
1. Bepaal de periode van y = sin(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Bepaal de periode van y = cos(x/2).
Hier is w = 1/2, dus T = 2π ÷ (1/2) = 4π. De golf is uitgerekt, dus hij herhaalt zich langzamer.
3. Is f(x) = x² periodiek?
Nee. Als f(x + T) = f(x) voor alle x, dan geldt bij x = 0: T² = 0, dus T = 0, maar een periode moet groter dan 0 zijn. Dus x² is niet periodiek. De grafiek is een kom die zich nooit herhaalt.
4. Waar is f(x) = x² − 4x stijgend en dalend?
f′(x) = 2x − 4. Dit is 0 bij x = 2. Voor x < 2 is f′ < 0: dalend. Voor x > 2 is f′ > 0: stijgend. Dus x = 2 is het minimum, met f(2) = −4.
5. Bepaal het lokale maximum en minimum van f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 geeft x = ±1. Bij x = −1 gaat de helling van + naar −: lokaal maximum, f(−1) = −1 + 3 = 2. Bij x = 1 gaat hij van − naar +: lokaal minimum, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Bepaal het max en min van f(x) = x³ − 3x op [−2, 1.5].
De keerpunten ±1 liggen allebei binnen het interval. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Grootste 2 bij x = −1, kleinste −2 bij x = −2 en x = 1.
7. Bepaal het max en min van f(x) = x² − 4x + 1 op [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 geeft x = 2 (binnen het interval). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Maximum 6 bij x = 5 (een rand), minimum −3 bij x = 2.
8. Bepaal het max en min van f(x) = x + 1/x op [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Voor x > 1 is 1/x² < 1, dus f′ > 0: stijgend op het hele interval. Geen keerpunt binnenin (x = 1 is een rand). Minimum f(1) = 2, maximum f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Veelgemaakte fouten
- Een functie periodiek noemen nadat je hem een- of tweemaal zag herhalen. De herhaling moet gelden voor elke x.
- De verkeerde periode gebruiken bij sin(wx). Het is 2π ÷ w, niet 2π × w.
- Denken dat elk punt met f′ = 0 een max of min is. x³ is in 0 even vlak, maar blijft daarna stijgen.
- Vergeten de twee randen van het interval te checken. De grootste of kleinste waarde zit vaak op een rand.