Periodicidade
Uma função f é periódica se existe um número T > 0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x. O menor T desse tipo é o período. O gráfico é um pedaço que se repete sem parar.
- sen x e cos x: período 2π.
- tg x: período π.
- sen(wx): período 2π ÷ w. Então sen(2x) tem período π.
- |sen x|: período π (as partes viradas para cima fazem o gráfico se repetir duas vezes mais).
Uma função como x² não é periódica: seus valores só crescem e nunca se repetem.
Se f tem período T, basta estudar um período e depois copiar.
Monotonia: crescente e decrescente
Uma função é crescente em um intervalo se o gráfico sobe quando x aumenta, e decrescente se ele desce. Juntas, essas duas são chamadas de monótonas (uma só direção).
A inclinação nos diz isso. A inclinação da curva em um ponto se escreve f′(x) (a derivada).
- f′(x) > 0 em um intervalo: crescente ali.
- f′(x) < 0 em um intervalo: decrescente ali.
Exemplo: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). É positiva para x < −1 e x > 1 (crescente) e negativa para −1 < x < 1 (decrescente).
Extremos: pontos de virada
Um máximo local é o alto de um morro: a função sobe e depois desce. Um mínimo local é o fundo de um vale: desce e depois sobe. Juntos são os extremos (extremo, no singular).
Num ponto assim a reta tangente é plana, então f′(x) = 0. Para achá-los:
- Resolva f′(x) = 0. Esses são os candidatos (pontos críticos).
- Veja o sinal de f′ um pouco antes e um pouco depois. Mais e depois menos: máximo. Menos e depois mais: mínimo. Sem mudança: nenhum dos dois (como x³ em 0).
Para x³ − 3x: f′ = 0 em x = ±1. Em x = −1 a inclinação vai de + para −: máximo local, valor 2. Em x = 1 ela vai de − para +: mínimo local, valor −2.
Máximo e mínimo em um intervalo [a, b]
Em um intervalo fechado [a, b], uma função suave tem um valor maior e um valor menor. Eles podem estar num ponto de virada dentro do intervalo ou numa ponta. Então:
- Ache os pontos de virada (f′ = 0) que estão dentro de [a, b]. Ignore os que estão fora.
- Calcule f nesses pontos e em a e b.
- O maior número é o máximo e o menor é o mínimo.
Para f = x³ − 3x em [−2, 1.5]: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Máximo 2 em x = −1; mínimo −2 em x = −2 e x = 1.
Um máximo local nem sempre é o maior do intervalo: uma ponta pode ser maior.
Experimente: preveja e depois confira
No quadro 3D escolha "Máximo e mínimo em [a, b]". Chute: se a = −1.5 e b = 2, onde está o máximo? Deslize a e b para conferir. Em casa: jogue uma bolinha para cima (de leve!) e observe: ela sobe, para um instante no alto (inclinação 0) e cai. O alto é o ponto de virada. Ou bata palmas num ritmo constante: o tempo entre duas palmas é o período.
Fórmulas e definições principais
- Periódica: f(x + T) = f(x) para todo x
- sen(wx), cos(wx): T = 2π / w; tg(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → crescente; f′(x) < 0 → decrescente
- Ponto de virada: f′(x) = 0 e o sinal de f′ muda
- Máx/mín em [a, b]: compare f(a), f(b) e f nos pontos de virada dentro do intervalo
Exemplos resolvidos
1. Ache o período de y = sen(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Ache o período de y = cos(x/2).
Aqui w = 1/2, então T = 2π ÷ (1/2) = 4π. A onda está esticada, por isso se repete mais devagar.
3. A função f(x) = x² é periódica?
Não. Se f(x + T) = f(x) para todo x, então em x = 0: T² = 0, logo T = 0, mas um período precisa ser maior que 0. Portanto x² não é periódica. O gráfico é uma tigela que nunca se repete.
4. Onde f(x) = x² − 4x é crescente e decrescente?
f′(x) = 2x − 4. Vale 0 em x = 2. Para x < 2, f′ < 0: decrescente. Para x > 2, f′ > 0: crescente. Então x = 2 é o mínimo, com f(2) = −4.
5. Ache o máximo e o mínimo locais de f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 dá x = ±1. Em x = −1 a inclinação vai de + para −: máximo local, f(−1) = −1 + 3 = 2. Em x = 1 ela vai de − para +: mínimo local, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Ache o máximo e o mínimo de f(x) = x³ − 3x em [−2, 1.5].
Os pontos de virada ±1 estão os dois dentro. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Maior valor 2 em x = −1, menor valor −2 em x = −2 e x = 1.
7. Ache o máximo e o mínimo de f(x) = x² − 4x + 1 em [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 dá x = 2 (dentro). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Máximo 6 em x = 5 (uma ponta), mínimo −3 em x = 2.
8. Ache o máximo e o mínimo de f(x) = x + 1/x em [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Para x > 1, 1/x² < 1, então f′ > 0: crescente no intervalo todo. Não há ponto de virada dentro (x = 1 é uma ponta). Mínimo f(1) = 2, máximo f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Erros comuns
- Dizer que uma função é periódica depois de vê-la se repetir uma ou duas vezes. A repetição tem de valer para todo x.
- Usar o período errado para sen(wx). É 2π ÷ w, não 2π × w.
- Achar que todo ponto com f′ = 0 é máximo ou mínimo. x³ em 0 fica plana por um instante, mas continua subindo.
- Esquecer de conferir as duas pontas do intervalo. O maior ou o menor valor muitas vezes está numa ponta.