周期性
すべての x について f(x + T) = f(x) となる数 T > 0 があるとき、関数 f は周期的だといいます。そのような T のうち最小のものが周期です。グラフは、ひとまとまりの形が何度もくり返されたものです。
- sin x と cos x:周期は 2π。
- tan x:周期は π。
- sin(wx):周期は 2π ÷ w。だから sin(2x) の周期は π。
- |sin x|:周期は π(下の部分が折り返されて、2倍の回数くり返す)。
x² のような関数は周期的ではありません。値は大きくなる一方で、くり返しません。
f の周期が T なら、1周期分だけ調べて、あとはそれをコピーすればよいのです。
単調性:増加と減少
x が大きくなるとグラフが上がるとき、その区間で関数は増加しているといい、下がるとき減少しているといいます。この2つをまとめて単調(向きが1つだけ)といいます。
それを教えてくれるのが傾きです。曲線のある点での傾きを f′(x)(導関数)と書きます。
- 区間で f′(x) > 0:そこでは増加。
- 区間で f′(x) < 0:そこでは減少。
例:f(x) = x³ − 3x のとき、f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)。x < −1 と x > 1 では正(増加)、−1 < x < 1 では負(減少)です。
極値:折り返す点
極大は山の頂上で、関数が上がってから下がります。極小は谷の底で、下がってから上がります。この2つをまとめて極値といいます。
そのような点では接線が水平なので、f′(x) = 0 です。次のように見つけます。
- f′(x) = 0 を解く。これが候補(臨界点)です。
- その点の直前と直後での f′ の符号を調べる。正から負なら極大。負から正なら極小。変わらなければどちらでもない(0での x³ のように)。
x³ − 3x では、f′ = 0 となるのは x = ±1。x = −1 で傾きは + から − に変わるので極大、値は2。x = 1 では − から + に変わるので極小、値は −2。
区間 [a, b] での最大と最小
閉じた区間 [a, b] では、なめらかな関数に最大値と最小値があります。それは区間の中の折り返す点にも、端にもあります。だから次のようにします。
- [a, b] の中にある折り返す点(f′ = 0)を見つける。外にあるものは無視する。
- その点と、a と b で f を計算する。
- いちばん大きい数が最大、いちばん小さい数が最小。
[−2, 1.5] での f = x³ − 3x:f(−2) = −2、f(−1) = 2、f(1) = −2、f(1.5) = −1.125。最大は x = −1 での2。最小は x = −2 と x = 1 での −2。
極大が区間でいちばん大きいとは限りません。端のほうが大きいこともあります。
やってみよう:予想してから確かめる
3Dボードで「[a, b] での最大と最小」を選びます。予想してみよう。a = −1.5、b = 2 のとき、最大はどこでしょう。a と b を動かして確かめます。家でもできます。小さなボールを(そっと!)上に投げて見てみましょう。上がって、頂上で一瞬止まり(傾き0)、落ちてきます。頂上が折り返す点です。または、一定のリズムで手をたたきます。2回のたたく間の時間が周期です。
重要な公式と用語
- 周期的:すべての x で f(x + T) = f(x)
- sin(wx), cos(wx):T = 2π / w; tan(wx):T = π / w
- f′(x) > 0 → 増加; f′(x) < 0 → 減少
- 折り返す点:f′(x) = 0 で、f′ の符号が変わる
- [a, b] での最大・最小:f(a)、f(b)、区間内の折り返す点での f を比べる
例題
1. y = sin(3x) の周期を求めよ。
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3。
2. y = cos(x/2) の周期を求めよ。
ここでは w = 1/2 なので、T = 2π ÷ (1/2) = 4π。波は横に引きのばされるので、くり返しがゆっくりになります。
3. f(x) = x² は周期的か。
いいえ。すべての x で f(x + T) = f(x) なら、x = 0 のとき T² = 0 なので T = 0 ですが、周期は0より大きくなければなりません。だから x² は周期的ではありません。グラフはくり返さないお椀の形です。
4. f(x) = x² − 4x は、どこで増加し、どこで減少するか。
f′(x) = 2x − 4。x = 2 で0です。x < 2 では f′ < 0 なので減少。x > 2 では f′ > 0 なので増加。だから x = 2 が最小で、f(2) = −4。
5. f(x) = x³ − 3x の極大値と極小値を求めよ。
f′ = 3x² − 3 = 0 より x = ±1。x = −1 で傾きは + から − に変わるので極大、f(−1) = −1 + 3 = 2。x = 1 では − から + に変わるので極小、f(1) = 1 − 3 = −2。
6. [−2, 1.5] での f(x) = x³ − 3x の最大値と最小値を求めよ。
折り返す点 ±1 はどちらも区間の中。f(−2) = −8 + 6 = −2。f(−1) = 2。f(1) = −2。f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125。最大は x = −1 での2、最小は x = −2 と x = 1 での −2。
7. [0, 5] での f(x) = x² − 4x + 1 の最大値と最小値を求めよ。
f′ = 2x − 4 = 0 より x = 2(区間の中)。f(2) = 4 − 8 + 1 = −3。f(0) = 1。f(5) = 25 − 20 + 1 = 6。最大は x = 5(端)での6、最小は x = 2 での −3。
8. [1, 4] での f(x) = x + 1/x の最大値と最小値を求めよ。
f′ = 1 − 1/x²。x > 1 では 1/x² < 1 なので f′ > 0。区間全体で増加です。区間の中に折り返す点はありません(x = 1 は端)。最小は f(1) = 2、最大は f(4) = 4 + 0.25 = 4.25。
よくある間違い
- 1回か2回くり返したのを見ただけで、周期的だと決めてしまう。くり返しはすべての x で成り立たなければなりません。
- sin(wx) の周期をまちがえる。2π ÷ w であって、2π × w ではありません。
- f′ = 0 の点はみんな最大か最小だと思う。0での x³ は一瞬平らになるだけで、そのまま上がり続けます。
- 区間の両端を調べ忘れる。いちばん大きい値や小さい値は、端にあることがよくあります。