Périodicité
Une fonction f est périodique s'il existe un nombre T > 0 tel que f(x + T) = f(x) pour tout x. Le plus petit T de ce genre est la période. Le graphique est un morceau qui se répète encore et encore.
- sin x et cos x : période 2π.
- tan x : période π.
- sin(wx) : période 2π ÷ w. Donc sin(2x) a pour période π.
- |sin x| : période π (les parties retournées font que ça se répète deux fois plus souvent).
Une fonction comme x² n'est pas périodique : ses valeurs ne cessent de grandir et ne se répètent jamais.
Si f a pour période T, il suffit d'étudier une seule période, puis de la recopier.
Monotonie : croissante et décroissante
Une fonction est croissante sur un intervalle si le graphique monte quand x grandit, et décroissante s'il descend. Ensemble, on dit qu'elle est monotone (un seul sens).
C'est la pente qui nous le dit. La pente de la courbe en un point s'écrit f′(x) (la dérivée).
- f′(x) > 0 sur un intervalle : croissante sur cet intervalle.
- f′(x) < 0 sur un intervalle : décroissante sur cet intervalle.
Exemple : f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Elle est positive pour x < −1 et x > 1 (croissante) et négative pour −1 < x < 1 (décroissante).
Extremums : les points de retournement
Un maximum local est le sommet d'une colline : la fonction monte, puis descend. Un minimum local est le fond d'une vallée : elle descend, puis monte. Ensemble, ce sont des extremums (un extremum au singulier).
En un tel point la tangente est plate, donc f′(x) = 0. Pour les trouver :
- Résous f′(x) = 0. Ce sont les candidats (points critiques).
- Regarde le signe de f′ juste avant et juste après. Plus puis moins : maximum. Moins puis plus : minimum. Pas de changement : ni l'un ni l'autre (comme x³ en 0).
Pour x³ − 3x : f′ = 0 en x = ±1. En x = −1 la pente passe de + à − : maximum local, de valeur 2. En x = 1 elle passe de − à + : minimum local, de valeur −2.
Max et min sur un intervalle [a, b]
Sur un intervalle fermé [a, b], une fonction régulière a une valeur la plus grande et une valeur la plus petite. Elles peuvent être à un point de retournement à l'intérieur, ou à un bord. Donc :
- Trouve les points de retournement (f′ = 0) qui sont dans [a, b]. Ignore ceux qui sont dehors.
- Calcule f en ces points et en a et b.
- Le plus grand nombre est le maximum, le plus petit est le minimum.
Pour f = x³ − 3x sur [−2, 1.5] : f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125. Max 2 en x = −1 ; min −2 en x = −2 et x = 1.
Un maximum local n'est pas toujours le plus grand de l'intervalle : un bord peut être plus haut.
À toi : prévois, puis vérifie
Dans la scène 3D, choisis « Max et min sur [a, b] ». Devine : si a = −1.5 et b = 2, où est le maximum ? Fais glisser a et b pour vérifier. À la maison : lance doucement une petite balle en l'air et observe : elle monte, s'arrête un instant au sommet (pente 0) et retombe. Le sommet est le point de retournement. Ou bien frappe dans tes mains à un rythme régulier : le temps entre deux claquements est la période.
Formules et définitions clés
- Périodique : f(x + T) = f(x) pour tout x
- sin(wx), cos(wx) : T = 2π / w ; tan(wx) : T = π / w
- f′(x) > 0 → croissante ; f′(x) < 0 → décroissante
- Point de retournement : f′(x) = 0 et le signe de f′ change
- Max/min sur [a, b] : compare f(a), f(b) et f aux points de retournement à l'intérieur
Exemples résolus
1. Trouve la période de y = sin(3x).
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3.
2. Trouve la période de y = cos(x/2).
Ici w = 1/2, donc T = 2π ÷ (1/2) = 4π. L'onde est étirée, elle se répète donc plus lentement.
3. La fonction f(x) = x² est-elle périodique ?
Non. Si f(x + T) = f(x) pour tout x, alors en x = 0 : T² = 0, donc T = 0, mais une période doit être strictement positive. Donc x² n'est pas périodique. Le graphique est une cuvette qui ne se répète jamais.
4. Où f(x) = x² − 4x est-elle croissante et décroissante ?
f′(x) = 2x − 4. Elle vaut 0 en x = 2. Pour x < 2, f′ < 0 : décroissante. Pour x > 2, f′ > 0 : croissante. Donc x = 2 est le minimum, avec f(2) = −4.
5. Trouve le maximum local et le minimum local de f(x) = x³ − 3x.
f′ = 3x² − 3 = 0 donne x = ±1. En x = −1 la pente passe de + à − : maximum local, f(−1) = −1 + 3 = 2. En x = 1 elle passe de − à + : minimum local, f(1) = 1 − 3 = −2.
6. Trouve le max et le min de f(x) = x³ − 3x sur [−2, 1.5].
Les points de retournement ±1 sont tous les deux dans l'intervalle. f(−2) = −8 + 6 = −2. f(−1) = 2. f(1) = −2. f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125. Le plus grand est 2 en x = −1, le plus petit est −2 en x = −2 et x = 1.
7. Trouve le max et le min de f(x) = x² − 4x + 1 sur [0, 5].
f′ = 2x − 4 = 0 donne x = 2 (à l'intérieur). f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. f(0) = 1. f(5) = 25 − 20 + 1 = 6. Maximum 6 en x = 5 (un bord), minimum −3 en x = 2.
8. Trouve le max et le min de f(x) = x + 1/x sur [1, 4].
f′ = 1 − 1/x². Pour x > 1, 1/x² < 1, donc f′ > 0 : croissante sur tout l'intervalle. Pas de point de retournement à l'intérieur (x = 1 est un bord). Minimum f(1) = 2, maximum f(4) = 4 + 0.25 = 4.25.
Erreurs fréquentes
- Dire qu'une fonction est périodique parce qu'on l'a vue se répéter une ou deux fois. La répétition doit être vraie pour tout x.
- Prendre la mauvaise période pour sin(wx). C'est 2π ÷ w, pas 2π × w.
- Croire que tout point avec f′ = 0 est un max ou un min. x³ en 0 est plate un instant mais continue de monter.
- Oublier de vérifier les deux bords de l'intervalle. La plus grande ou la plus petite valeur est souvent à un bord.