Wat is absolute waarde?
Zet een getal op de getallenlijn. Tel de stappen naar 0. Dat aantal is de absolute waarde. We schrijven het met twee streepjes: |x|.
Dus |5| = 5 en |-5| = 5. Beide liggen 5 stappen van 0. |0| = 0.
In symbolen: |x| = x als x gelijk is aan 0 of positief is, en |x| = -x als x negatief is. De "min" in -x maakt van een negatief getal een positief getal, dus |x| is nooit kleiner dan 0.
Afstand tussen twee getallen: |x - a|
De afstand tussen x en a op de lijn is |x - a|. Dat is hetzelfde als |a - x|. Voorbeeld: de afstand van 2 tot 9 is |9 - 2| = 7. Van -4 tot 3 is het |3 - (-4)| = 7.
Onthoud: |x| is gewoon |x - 0|, de afstand tot 0.
|x + a| = b oplossen
Lees |x - c| = b als: "x ligt b stappen van c". Ga b stappen naar rechts en b stappen naar links vanaf c. Er zijn twee antwoorden: x = c + b en x = c - b.
Bij |x + 3| = 5: schrijf het als |x - (-3)| = 5. Dus x = -3 + 5 = 2 of x = -3 - 5 = -8. Controle: |2 + 3| = 5 en |-8 + 3| = 5.
Als b negatief is, is er geen antwoord, want een afstand kan niet negatief zijn. Als b = 0, is er één antwoord: x = c.
Intervallen op de getallenlijn
Een interval is alle getallen tussen twee uiteinden.
- [a, b] gesloten: a en b tellen mee (gevulde stippen). Het betekent a ≤ x ≤ b.
- (a, b) open: a en b tellen niet mee (lege stippen). Het betekent a < x < b.
- [a, b) en (a, b] zijn half open.
- (a, ∞): alles boven a. Het teken ∞ betekent "gaat eeuwig door". Hierbij hoort altijd een ronde haak.
Verband met absolute waarde: |x - c| < r betekent c - r < x < c + r, dus het interval (c - r, c + r). En |x - c| > r betekent dat x erbuiten ligt: x < c - r of x > c + r.
Probeer het: loop over de lijn
Teken met krijt een lijn op de grond en zet de getallen -5 tot 5 erop. Ga op 0 staan. Zet 4 stappen naar rechts, ga terug naar 0 en zet 4 stappen naar links. Waar sta je? Op 4 en -4. Beide hebben |x| = 4. Raad nu voordat je schuift: waar moet x staan zodat |x - 2| = 3? Controleer het in de 3D.
Belangrijke formules en begrippen
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distance between x and a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b or x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r or x > c + r
- [a, b] includes both ends; (a, b) includes neither
Uitgewerkte voorbeelden
1. Bepaal |-7|, |4| en |0|.
|-7| = 7 (7 stappen van 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Bepaal de afstand tussen -2 en 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Los op: |x| = 6.
x ligt 6 stappen van 0, dus x = 6 of x = -6.
4. Los op: |x + 4| = 3.
Schrijf als |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 of x = -4 - 3 = -7. Controle: |-1 + 4| = 3 en |-7 + 4| = 3.
5. Schrijf 2 < x ≤ 9 als interval en zeg welke stippen gevuld zijn.
(2, 9]. De stip bij 2 is leeg (2 telt niet mee). De stip bij 9 is gevuld.
6. Los op: |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 geeft x = 6. 2x - 5 = -7 geeft x = -1. Controle: |12 - 5| = 7 en |-2 - 5| = 7.
7. Schrijf |x - 1| < 3 als interval.
1 - 3 < x < 1 + 3, dus (-2, 4).
8. Los op: |x - 2| = |x + 6|.
x ligt even ver van 2 als van -6, dus x is het midden: (2 + (-6)) / 2 = -2. Controle: |-4| = 4 en |4| = 4.
Veelgemaakte fouten
- |-5| = -5 schrijven. Absolute waarde is nooit negatief: |-5| = 5.
- Maar één antwoord geven bij |x - c| = b. Er zijn twee plekken, c + b en c - b.
- Een rechte haak naast ∞ zetten. Oneindig is geen getal, dus gebruik altijd ∞).
- |x + 3| = 5 oplossen als x = 3 + 5. Het midden is -3, niet 3. Schrijf x + 3 als x - (-3).