Samengestelde functies: binnen en buiten
Een samengestelde functie f(g(x)) betekent: doe eerst g en stop de uitkomst in f. Als f(x) = x² en g(x) = x − 2, dan is f(g(x)) = (x − 2)². In de andere volgorde krijg je g(f(x)) = x² − 2, en dat is een andere grafiek.
Snelle regels voor de grafiek van y = f(x):
- f(x − h): schuif naar rechts over h (binnen, opzij, tegengesteld aan het teken).
- f(x) + k: schuif omhoog over k (buiten).
- −f(x): spiegel in de x-as. f(−x): spiegel in de y-as.
- a·f(x): uitrekken omhoog en omlaag. f(bx): opzij samenpersen.
Alle bewegingen samen hebben een eigen les: Transformaties van functies.
Absolute waarde in een grafiek: |f(x)| en f(|x|)
De absolute waarde |a| is de grootte van a zonder teken: |−3| = 3.
|f(x)| (buiten): teken y = f(x). Houd de delen op of boven de x-as. Klap de delen eronder omhoog (spiegel in de x-as). Het resultaat komt nooit onder nul.
f(|x|) (binnen): teken y = f(x) alleen voor x ≥ 0. Gooi de linkerkant weg en vervang hem door een spiegelbeeld van de rechterkant. Het resultaat is symmetrisch om de y-as (een even functie).
Voorbeeld: y = |x² − 2| heeft nulpunten ±√2 en een top van waarde 2 bij x = 0. y = (|x| − 1)² heeft nulpunten ±1 en y = 1 bij x = 0.
Meetkundig beeld van een vergelijking
Het meetkundige beeld (de grafiek) van een vergelijking in x en y is de verzameling van alle punten (x, y) waarvoor de vergelijking klopt.
- x² + y² = r²: een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal r. Elk punt ligt op afstand r van het middelpunt.
- |x| + |y| = r: een ruit (een vierkant dat 45° gedraaid is) met hoekpunten (±r, 0) en (0, ±r). De oppervlakte is 2r².
- y² = x: een parabool die op zijn zij ligt. Het is de vereniging van y = √x en y = −√x.
Tip: om |x| + |y| = r te tekenen, teken je x + y = r alleen in het eerste kwadrant (x, y ≥ 0) en spiegel je dat naar de andere drie kwadranten.
Verticale-lijntest: als een verticale lijn het beeld twee keer snijdt, heeft één x twee y-waarden, en dan is het niet de grafiek van een functie. De cirkel en y² = x zakken; y = x² en y = |x| slagen.
Een plan om te schetsen
- Zoek het domein (welke x mogen).
- Markeer de snijpunten (waar de grafiek de assen snijdt).
- Controleer de symmetrie (even: spiegelbeeld in de y-as).
- Zet een paar belangrijke punten uit en verbind ze vloeiend.
Grafieken tellen ook oplossingen: het aantal keren dat y = f(x) en y = g(x) elkaar snijden is het aantal oplossingen van f(x) = g(x).
Probeer het: voorspel en controleer
Kies op het 3D-bord y = (x − h)². Raad waar het laagste punt komt als h = 3 en schuif dan h naar 3. Kies |x| + |y| = r en raad de oppervlakte voor r = 3 (antwoord 18). Thuis: vouw een papier dubbel, teken aan één kant de helft van een hart, knip langs de lijn en vouw open. De vouwlijn is je y-as en je hebt zojuist f(|x|) gemaakt.
Belangrijke formules en begrippen
- f(x − h): schuif h naar rechts; f(x) + k: schuif k omhoog
- |f(x)|: klap het deel onder de x-as omhoog
- f(|x|): houd x ≥ 0, spiegel het naar x < 0
- x² + y² = r²: cirkel, middelpunt (0, 0), straal r
- |x| + |y| = r: ruit, oppervlakte 2r²
- Verticale-lijntest: één x moet één y geven
Uitgewerkte voorbeelden
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Bepaal f(g(x)) en g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : de parabool x² is 2 naar rechts geschoven, laagste punt (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : de parabool is 2 omlaag geschoven, laagste punt (0, −2). Ze zijn verschillend.
2. Schets y = |x² − 2|. Geef de nulpunten en het snijpunt met de y-as.
Teken eerst x² − 2 (laagste punt (0, −2), nulpunten ±√2 ≈ ±1.41). Klap het dal tussen de nulpunten omhoog: het punt (0, −2) gaat naar (0, 2). Nulpunten ±√2, snijpunt met de y-as 2.
3. Schets y = (|x| − 1)².
Voor x ≥ 0 is het (x − 1)²: laagste punt (1, 0), en bij x = 0 is de waarde 1. Spiegel het naar links: nulpunten bij x = ±1, snijpunt met de y-as 1, een klein bultje op (0, 1) zoals de letter W.
4. Teken |x| + |y| = 2 en bepaal de oppervlakte.
Hoekpunten (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). Het is een vierkant met diagonalen van lengte 4. Oppervlakte = ½ × 4 × 4 = 8 (ook 2r² = 2 × 4 = 8).
5. Bepaal y op de cirkel x² + y² = 9 als x = 2.
4 + y² = 9, dus y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Twee punten: één op de bovenste helft, één op de onderste helft.
6. Is de grafiek van y² = x de grafiek van een functie y = f(x)?
Nee. De verticale lijn x = 4 snijdt hem bij y = 2 en y = −2: één x, twee y. Het zijn twee functiegrafieken samen: y = √x (boven) en y = −√x (onder).
7. Hoeveel oplossingen heeft (x − 2)² = |x|?
Teken y = (x − 2)² en y = |x|. Voor x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x geeft x² − 5x + 4 = 0, dus x = 1 of 4. Voor x < 0: x² − 3x + 4 = 0 heeft D = 9 − 16 < 0, dus geen oplossing. Dus 2 oplossingen. De grafiek laat hetzelfde zien: twee snijpunten rechts.
8. f(x) = √x en g(x) = x² − 4. Bepaal het domein van f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Er moet gelden x² − 4 ≥ 0, dus x ≤ −2 of x ≥ 2. De grafiek heeft twee losse takken: één begint in (2, 0) en gaat naar rechts, één begint in (−2, 0) en gaat naar links.
Veelgemaakte fouten
- (x − 2)² naar links schuiven. Het minteken binnen de haakjes schuift de grafiek naar rechts.
- f(g(x)) verwarren met g(f(x)). De volgorde telt: de binnenste functie doe je eerst.
- Denken dat |f(x)| en f(|x|) hetzelfde zijn. De ene klapt de onderkant omhoog; de andere spiegelt de rechterkant.
- Elke kromme een functiegrafiek noemen. Een cirkel zakt voor de verticale-lijntest.