Verkettete Funktionen: innen und außen
Eine verkettete Funktion f(g(x)) heißt: Erst g rechnen, dann das Ergebnis in f einsetzen. Wenn f(x) = x² und g(x) = x − 2, dann ist f(g(x)) = (x − 2)². In der anderen Reihenfolge erhält man g(f(x)) = x² − 2, und das ist ein anderer Graph.
Kurze Regeln für den Graphen von y = f(x):
- f(x − h): um h nach rechts verschieben (innen, seitwärts, gegen das Vorzeichen).
- f(x) + k: um k nach oben verschieben (außen).
- −f(x): an der x-Achse spiegeln. f(−x): an der y-Achse spiegeln.
- a·f(x): nach oben und unten strecken. f(bx): seitlich stauchen.
Alle Verschiebungen und Spiegelungen haben eine eigene Lektion: Transformationen von Funktionen.
Betrag im Graphen: |f(x)| und f(|x|)
Der Betrag |a| ist die Größe von a ohne Vorzeichen: |−3| = 3.
|f(x)| (außen): Zeichne y = f(x). Behalte die Teile auf oder über der x-Achse. Klappe die Teile darunter nach oben (Spiegelung an der x-Achse). Das Ergebnis geht nie unter null.
f(|x|) (innen): Zeichne y = f(x) nur für x ≥ 0. Wirf die linke Seite weg und ersetze sie durch eine Spiegelkopie der rechten Seite. Das Ergebnis ist symmetrisch zur y-Achse (eine gerade Funktion).
Beispiel: y = |x² − 2| hat Nullstellen bei ±√2 und einen Höchstwert 2 bei x = 0. y = (|x| − 1)² hat Nullstellen bei ±1 und y = 1 bei x = 0.
Geometrisches Bild einer Gleichung
Das geometrische Bild (der Graph) einer Gleichung in x und y ist die Menge aller Punkte (x, y), für die sie stimmt.
- x² + y² = r²: ein Kreis mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius r. Jeder Punkt ist r vom Mittelpunkt entfernt.
- |x| + |y| = r: eine Raute (ein um 45° gedrehtes Quadrat) mit den Ecken (±r, 0) und (0, ±r). Ihr Flächeninhalt ist 2r².
- y² = x: eine liegende Parabel. Sie besteht aus y = √x und y = −√x zusammen.
Tipp: Um |x| + |y| = r zu zeichnen, zeichne x + y = r nur im ersten Quadranten (x, y ≥ 0) und spiegle es dann in die anderen drei Quadranten.
Vertikaltest: Wenn eine senkrechte Gerade das Bild zweimal trifft, hat ein x zwei y-Werte, also ist es nicht der Graph einer Funktion. Der Kreis und y² = x fallen durch; y = x² und y = |x| bestehen.
Ein Plan zum Skizzieren
- Finde den Definitionsbereich (welche x erlaubt sind).
- Markiere die Achsenschnittpunkte (wo der Graph die Achsen schneidet).
- Prüfe die Symmetrie (gerade: Spiegelbild an der y-Achse).
- Zeichne ein paar wichtige Punkte und verbinde sie glatt.
Graphen zählen auch Lösungen: Wie oft sich y = f(x) und y = g(x) treffen, so viele Lösungen hat f(x) = g(x).
Probier es aus: erst vorhersagen, dann prüfen
Wähle auf der 3D-Tafel y = (x − h)². Rate, wo der tiefste Punkt bei h = 3 liegt, und schiebe dann h auf 3. Wähle |x| + |y| = r und rate den Flächeninhalt für r = 3 (Antwort 18). Zu Hause: Falte ein Papier in der Mitte, zeichne auf eine Seite die halbe Form eines Herzens, schneide entlang der Linie und klappe es auf. Die Falte ist deine y-Achse, und du hast gerade f(|x|) gemacht.
Wichtige Formeln und Definitionen
- f(x − h): um h nach rechts; f(x) + k: um k nach oben
- |f(x)|: Teil unter der x-Achse nach oben klappen
- f(|x|): x ≥ 0 behalten, nach x < 0 spiegeln
- x² + y² = r²: Kreis, Mittelpunkt (0, 0), Radius r
- |x| + |y| = r: Raute, Flächeninhalt 2r²
- Vertikaltest: ein x muss genau ein y ergeben
Gelöste Beispiele
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Bestimme f(g(x)) und g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : die Parabel x² um 2 nach rechts verschoben, tiefster Punkt (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : die Parabel um 2 nach unten verschoben, tiefster Punkt (0, −2). Sie sind verschieden.
2. Skizziere y = |x² − 2|. Gib die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt an.
Zeichne zuerst x² − 2 (tiefster Punkt (0, −2), Nullstellen ±√2 ≈ ±1.41). Klappe die Mulde zwischen den Nullstellen nach oben: Der Punkt (0, −2) wird zu (0, 2). Nullstellen ±√2, y-Achsenabschnitt 2.
3. Skizziere y = (|x| − 1)².
Für x ≥ 0 ist es (x − 1)²: tiefster Punkt (1, 0), und bei x = 0 ist der Wert 1. Spiegle nach links: Nullstellen bei x = ±1, y-Achsenabschnitt 1, ein kleiner Buckel bei (0, 1) wie der Buchstabe W.
4. Zeichne |x| + |y| = 2 und bestimme den Flächeninhalt.
Ecken bei (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). Es ist ein Quadrat mit Diagonalen der Länge 4. Flächeninhalt = ½ × 4 × 4 = 8 (auch 2r² = 2 × 4 = 8).
5. Bestimme auf dem Kreis x² + y² = 9 den Wert y für x = 2.
4 + y² = 9, also y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Zwei Punkte: einer auf der oberen Hälfte, einer auf der unteren.
6. Ist der Graph von y² = x der Graph einer Funktion y = f(x)?
Nein. Die senkrechte Gerade x = 4 schneidet ihn bei y = 2 und y = −2: ein x, zwei y. Es sind zwei Funktionsgraphen zusammen: y = √x (oben) und y = −√x (unten).
7. Wie viele Lösungen hat (x − 2)² = |x|?
Zeichne y = (x − 2)² und y = |x|. Für x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x ergibt x² − 5x + 4 = 0, also x = 1 oder 4. Für x < 0: x² − 3x + 4 = 0 hat D = 9 − 16 < 0, also keine. Es gibt 2 Lösungen. Der Graph zeigt dasselbe: zwei Schnittpunkte rechts.
8. f(x) = √x und g(x) = x² − 4. Bestimme den Definitionsbereich von f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Es muss x² − 4 ≥ 0 gelten, also x ≤ −2 oder x ≥ 2. Der Graph hat zwei getrennte Äste: einer beginnt bei (2, 0) und geht nach rechts, einer beginnt bei (−2, 0) und geht nach links.
Häufige Fehler
- (x − 2)² nach links verschieben. Das Minus in der Klammer verschiebt den Graphen nach rechts.
- f(g(x)) mit g(f(x)) verwechseln. Die Reihenfolge zählt: Die innere Funktion wird zuerst gerechnet.
- Denken, |f(x)| und f(|x|) seien gleich. Das eine klappt den unteren Teil nach oben; das andere spiegelt die rechte Seite.
- Jede Kurve einen Funktionsgraphen nennen. Ein Kreis besteht den Vertikaltest nicht.