Funções compostas: dentro e fora
Uma função composta f(g(x)) significa: faça g primeiro e depois coloque o resultado em f. Se f(x) = x² e g(x) = x − 2, então f(g(x)) = (x − 2)². Fazendo na ordem contrária, g(f(x)) = x² − 2, que é outro gráfico.
Regras rápidas para o gráfico de y = f(x):
- f(x − h): desliza para a direita h unidades (dentro, para o lado, oposto ao sinal).
- f(x) + k: desliza para cima k unidades (fora).
- −f(x): reflexão no eixo x. f(−x): reflexão no eixo y.
- a·f(x): estica para cima e para baixo. f(bx): aperta para os lados.
O conjunto completo de movimentos tem sua própria aula: Transformações de funções.
Módulo no gráfico: |f(x)| e f(|x|)
O módulo (valor absoluto) |a| é o tamanho de a sem o sinal: |−3| = 3.
|f(x)| (por fora): desenhe y = f(x). Mantenha as partes sobre o eixo x ou acima dele. Vire para cima as partes abaixo dele (espelho no eixo x). O resultado nunca fica abaixo de zero.
f(|x|) (por dentro): desenhe y = f(x) só para x ≥ 0. Jogue fora o lado esquerdo e troque-o por uma cópia espelhada do lado direito. O resultado é simétrico em relação ao eixo y (uma função par).
Exemplo: y = |x² − 2| tem zeros em ±√2 e valor máximo local 2 em x = 0. y = (|x| − 1)² tem zeros em ±1 e y = 1 em x = 0.
Imagem geométrica de uma equação
A imagem geométrica (gráfico) de uma equação em x e y é o conjunto de todos os pontos (x, y) que a tornam verdadeira.
- x² + y² = r²: um círculo com centro (0, 0) e raio r. Todo ponto está a distância r do centro.
- |x| + |y| = r: um losango (um quadrado girado 45°) com vértices (±r, 0) e (0, ±r). Sua área é 2r².
- y² = x: uma parábola deitada. É a união de y = √x e y = −√x.
Dica: para desenhar |x| + |y| = r, desenhe x + y = r só no primeiro quadrante (x, y ≥ 0) e depois espelhe nos outros três.
Teste da reta vertical: se alguma reta vertical encontra a figura duas vezes, um x tem dois valores de y, então não é gráfico de função. O círculo e y² = x falham; y = x² e y = |x| passam.
Um plano para esboçar
- Ache o domínio (quais x são permitidos).
- Marque os interceptos (onde corta os eixos).
- Verifique a simetria (par: espelho no eixo y).
- Marque alguns pontos-chave e ligue-os com uma curva suave.
Gráficos também contam soluções: o número de vezes que y = f(x) encontra y = g(x) é o número de soluções de f(x) = g(x).
Experimente: preveja e depois confira
Na lousa 3D escolha y = (x − h)². Adivinhe onde fica o ponto mais baixo quando h = 3 e depois deslize h até 3. Escolha |x| + |y| = r e adivinhe a área para r = 3 (resposta 18). Em casa: dobre uma folha ao meio, desenhe metade de um coração de um lado, corte pela linha e abra. A dobra é o seu eixo y e você acabou de fazer f(|x|).
Fórmulas e definições principais
- f(x − h): desloca h para a direita; f(x) + k: desloca k para cima
- |f(x)|: vira para cima a parte abaixo do eixo x
- f(|x|): mantém x ≥ 0 e espelha para x < 0
- x² + y² = r²: círculo, centro (0, 0), raio r
- |x| + |y| = r: losango, área 2r²
- Teste da reta vertical: cada x deve dar um só y
Exemplos resolvidos
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Ache f(g(x)) e g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : a parábola x² deslizou 2 para a direita, ponto mais baixo (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : a parábola deslizou 2 para baixo, ponto mais baixo (0, −2). São diferentes.
2. Esboce y = |x² − 2|. Dê os zeros e o intercepto com o eixo y.
Desenhe primeiro x² − 2 (ponto mais baixo (0, −2), zeros ±√2 ≈ ±1,41). Vire para cima a parte entre os zeros: o ponto (0, −2) vai para (0, 2). Zeros ±√2, intercepto em y igual a 2.
3. Esboce y = (|x| − 1)².
Para x ≥ 0 é (x − 1)²: ponto mais baixo (1, 0), e em x = 0 o valor é 1. Espelhe para a esquerda: zeros em x = ±1, intercepto em y igual a 1, uma pequena corcova em (0, 1) como a letra W.
4. Desenhe |x| + |y| = 2 e ache sua área.
Vértices em (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). É um quadrado com diagonais de comprimento 4. Área = ½ × 4 × 4 = 8 (também 2r² = 2 × 4 = 8).
5. No círculo x² + y² = 9, ache y quando x = 2.
4 + y² = 9, então y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2,24. Dois pontos: um na metade de cima, outro na de baixo.
6. O gráfico de y² = x é o gráfico de uma função y = f(x)?
Não. A reta vertical x = 4 o corta em y = 2 e y = −2: um x, dois y. São dois gráficos de função juntos: y = √x (em cima) e y = −√x (embaixo).
7. Quantas soluções tem (x − 2)² = |x|?
Desenhe y = (x − 2)² e y = |x|. Para x ≥ 0: x² − 4x + 4 = x dá x² − 5x + 4 = 0, então x = 1 ou 4. Para x < 0: x² − 3x + 4 = 0 tem D = 9 − 16 < 0, nenhuma. Então são 2 soluções. O gráfico mostra o mesmo: dois pontos de encontro à direita.
8. f(x) = √x e g(x) = x² − 4. Ache o domínio de f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Precisamos de x² − 4 ≥ 0, então x ≤ −2 ou x ≥ 2. O gráfico tem dois ramos separados: um começando em (2, 0) indo para a direita, outro começando em (−2, 0) indo para a esquerda.
Erros comuns
- Mover (x − 2)² para a esquerda. O sinal de menos dentro move o gráfico para a direita.
- Confundir f(g(x)) com g(f(x)). A ordem importa: a de dentro é feita primeiro.
- Achar que |f(x)| e f(|x|) são iguais. Um vira a parte de baixo para cima; o outro espelha o lado direito.
- Chamar toda curva de gráfico de função. O círculo não passa no teste da reta vertical.