复合函数：里面和外面
复合函数 f(g(x)) 的意思是：先算 g，再把结果代入 f。如果 f(x) = x²，g(x) = x − 2，那么 f(g(x)) = (x − 2)²。反过来算，g(f(x)) = x² − 2，这是另一条不同的图像。
y = f(x) 的图像有几条快速规则：
- f(x − h)：向右平移 h（在里面，管左右，方向与符号相反）。
- f(x) + k：向上平移 k（在外面）。
- −f(x)：关于 x 轴翻折。f(−x)：关于 y 轴翻折。
- a·f(x)：上下拉伸。f(bx)：左右压缩。
全部变换在另一节课里有详细讲解：函数的变换。
图像中的绝对值：|f(x)| 和 f(|x|)
绝对值 |a| 是去掉符号后 a 的大小：|−3| = 3。
|f(x)|（在外面）：先画 y = f(x)。保留在 x 轴上或上方的部分。把下方的部分向上翻（关于 x 轴作镜像）。结果永远不会低于零。
f(|x|)（在里面）：只画 x ≥ 0 时的 y = f(x)。扔掉左边，用右边的镜像复制品代替。结果关于 y 轴对称（偶函数）。
例：y = |x² − 2| 的零点是 ±√2，在 x = 0 处的峰值是 2。y = (|x| − 1)² 的零点是 ±1，x = 0 时 y = 1。
方程的几何图形
含 x 和 y 的方程的几何图形（图像）是所有使方程成立的点 (x, y) 的集合。
- x² + y² = r²：圆心 (0, 0)、半径 r 的圆。每个点到圆心的距离都是 r。
- |x| + |y| = r：菱形（转了 45° 的正方形），顶点为 (±r, 0) 和 (0, ±r)。面积是 2r²。
- y² = x：横躺着的抛物线。它是 y = √x 和 y = −√x 两部分的合并。
小技巧：画 |x| + |y| = r 时，先只在第一象限（x, y ≥ 0）画 x + y = r，再把它镜像到另外三个象限。
竖线检验：如果有一条竖直线与图形相交两次，说明一个 x 对应两个 y，它就不是函数的图像。圆和 y² = x 通不过；y = x²、y = |x| 能通过。
画图的步骤
- 求定义域（哪些 x 可以取）。
- 标出截距（与坐标轴的交点）。
- 检查对称性（偶函数：关于 y 轴对称）。
- 描几个关键点，再用平滑的曲线连起来。
图像还能用来数解的个数：y = f(x) 与 y = g(x) 相交几次，方程 f(x) = g(x) 就有几个解。
试一试：先预测，再检验
在3D画板里选 y = (x − h)²。先猜一猜 h = 3 时最低点在哪里，再把 h 滑到 3 看看。选 |x| + |y| = r，猜一猜 r = 3 时的面积（答案 18）。回家可以做个小实验：把纸对折，在一边画半个爱心，沿线剪下再打开。折痕就是你的 y 轴，你刚刚做出了 f(|x|)。
重点公式和概念
- f(x − h)：向右平移 h；f(x) + k：向上平移 k
- |f(x)|：把 x 轴下方的部分翻到上方
- f(|x|)：保留 x ≥ 0 的部分，再镜像到 x < 0
- x² + y² = r²：圆，圆心 (0, 0)，半径 r
- |x| + |y| = r：菱形，面积 2r²
- 竖线检验：一个 x 只能对应一个 y
例题讲解
1. f(x) = x²，g(x) = x − 2。求 f(g(x)) 和 g(f(x))。
f(g(x)) = (x − 2)²：抛物线 x² 向右平移 2，最低点 (2, 0)。g(f(x)) = x² − 2：抛物线向下平移 2，最低点 (0, −2)。两者不同。
2. 画出 y = |x² − 2|。写出零点和 y 轴截距。
先画 x² − 2（最低点 (0, −2)，零点 ±√2 ≈ ±1.41）。把两个零点之间的凹下部分翻到上方：点 (0, −2) 变成 (0, 2)。零点 ±√2，y 轴截距 2。
3. 画出 y = (|x| − 1)²。
x ≥ 0 时它是 (x − 1)²：最低点 (1, 0)，x = 0 时的值是 1。把它镜像到左边：零点在 x = ±1，y 轴截距 1，在 (0, 1) 处有一个小鼓包，像字母 W。
4. 画出 |x| + |y| = 2，并求它的面积。
顶点是 (2, 0)、(0, 2)、(−2, 0)、(0, −2)。它是一个正方形，对角线长 4。面积 = ½ × 4 × 4 = 8（也可以用 2r² = 2 × 4 = 8）。
5. 在圆 x² + y² = 9 上，当 x = 2 时求 y。
4 + y² = 9，所以 y² = 5，y = ±√5 ≈ ±2.24。有两个点：一个在上半圆，一个在下半圆。
6. y² = x 的图像是函数 y = f(x) 的图像吗？
不是。竖直线 x = 4 在 y = 2 和 y = −2 处与它相交：一个 x，两个 y。它是两个函数图像合在一起：y = √x（上半部分）和 y = −√x（下半部分）。
7. (x − 2)² = |x| 有几个解？
画出 y = (x − 2)² 和 y = |x|。x ≥ 0 时：x² − 4x + 4 = x，得 x² − 5x + 4 = 0，所以 x = 1 或 4。x < 0 时：x² − 3x + 4 = 0 的 D = 9 − 16 < 0，无解。所以共有 2 个解。图像也显示同样的结果：右边有两个交点。
8. f(x) = √x，g(x) = x² − 4。求 f(g(x)) 的定义域。
f(g(x)) = √(x² − 4)。需要 x² − 4 ≥ 0，所以 x ≤ −2 或 x ≥ 2。图像有两条分开的“臂”：一条从 (2, 0) 出发向右，一条从 (−2, 0) 出发向左。
常见错误
- 把 (x − 2)² 向左移。里面的减号让图像向右移。
- 把 f(g(x)) 和 g(f(x)) 搞混。顺序很重要：里面的先算。
- 以为 |f(x)| 和 f(|x|) 一样。一个把下面的翻到上面；另一个把右边镜像到左边。
- 把每条曲线都叫作函数图像。圆通不过竖线检验。