什么是一次函数？
函数是一种规则：每放进一个输入，就恰好得到一个输出。输入叫 x，输出叫 y（或 f(x)）。
如果 x 每增加 1，y 的变化量都一样，这个函数就是一次函数（线性函数）。这个固定的变化量叫变化率。
每个一次函数都可以写成 y = mx + c。有的书写成 f(x) = mx + b 或 y = ax + b，意思完全一样（中国课本常写 y = kx + b）。
- 当 c = 0 时，函数是 y = mx，它的直线经过原点 (0, 0)。这就是正比例关系。
- 当 c 不等于 0 时，有些书把它叫作仿射函数。
表格、图像和规则
同一个一次函数可以用四种方式表示：
- 文字：“把数乘 2，再加 1”。
- 规则：y = 2x + 1。
- 表格：x = 0, 1, 2, 3 时 y = 1, 3, 5, 7。y 每次增加 2。
- 图像：画出 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5)、(3, 7) 并连起来，得到一条直线。
用表格判断：如果 x 按相等的步长增加，而 y 的差也都相等，这个函数就是一次函数。
斜率和截距
斜率 m
m = 上升量 ÷ 水平量 = (y 的变化) ÷ (x 的变化) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。
- m > 0：直线从左到右上升（递增）。
- m < 0：直线下降（递减）。
- m = 0：直线是水平的，y = c（常数函数）。
- |m| 越大，直线越陡。
截距
y 轴截距：令 x = 0，得 y = c。这个点是 (0, c)。
x 轴截距（也叫零点或根）：令 y = 0，解 0 = mx + c，得 x = −c ÷ m。
平行线
斜率相同的直线永远不会相交：它们互相平行。
求解析式和解决实际问题
已知两点：先用斜率公式求 m，再把其中一个点代入 y = mx + c 求 c。
已知一个情景：固定的起始量就是 c（初始值）；每一个单位增加的量就是 m（变化率）。
是不是一次函数？y = 3x − 4 是一次函数。y = x²、y = 1/x 和 y = 2ˣ 不是：它们的图像是弯的，y 的差也不相等。
解题：想知道一次函数什么时候达到某个值，就让 y 等于这个值，解方程。两条直线在两个规则给出相同 y 的地方相交。
重点公式和概念
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = 上升量 ÷ 水平量 = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- y 轴截距：(0, c)
- x 轴截距：x = −c ÷ m
- 平行线：m 相同
- 正比例：y = mx (c = 0)
例题讲解
1. 对于 y = 3x − 2，列出 x = 0, 1, 2, 3 时的表格。
x = 0：y = −2。x = 1：y = 1。x = 2：y = 4。x = 3：y = 7。y 每次增加 3，这就是斜率。
2. 求 y = −4x + 9 的斜率和 y 轴截距。
与 y = mx + c 对比：m = −4（直线向下），c = 9，所以它在 (0, 9) 穿过 y 轴。
3. 求经过 (1, 3) 和 (4, 12) 的直线的斜率。
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3。
4. 求经过 (2, 5) 和 (6, 13) 的直线的方程。
第 1 步：m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2。第 2 步：把 (2, 5) 代入 y = 2x + c：5 = 4 + c，所以 c = 1。答案：y = 2x + 1。
5. 求 y = 4x − 10 的 x 轴截距。
令 y = 0：0 = 4x − 10，所以 4x = 10，x = 2.5。直线在 (2.5, 0) 穿过 x 轴。
6. 出租车起步价 50，每公里 12。写出规则，并求 8 km 的费用。花 170 能坐多远？
费用 y = 12x + 50。8 km：12 × 8 + 50 = 146。170：12x + 50 = 170，12x = 120，x = 10 km。
7. 套餐 A 收费 100 + 每 GB 5；套餐 B 每 GB 20。什么时候两者费用相同？
100 + 5x = 20x，所以 100 = 15x，x ≈ 6.67 GB。少于这个流量 B 更便宜；多于这个流量 A 更便宜。
常见错误
- 把斜率写成 水平量 ÷ 上升量。正确的是 上升量 ÷ 水平量：y 的变化放在上面。
- 顺序搞混，写成 (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂)。两个差要按同样的顺序来减。
- 以为 c 是直线穿过 x 轴的位置。c 是 y 轴截距；x 轴截距是 −c ÷ m。
- 因为式子里有 x 就把 y = x² 叫作一次函数。一次函数里 x 只能是一次方，图像是直线。