每个点都有地址：(x, y)
画两条互相垂直的数轴。平放的叫 x 轴，竖立的叫 y 轴。它们相交于 原点 O(0, 0)。
每个点由两个数确定。第一个数 (x，叫横坐标) 告诉我们向右或向左走多远。第二个数 (y，叫纵坐标) 告诉我们向上或向下走多远。所以 (3, 2) 表示先向右 3 格，再向上 2 格。
距离公式
设 A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)。从 A 笔直横着走，一直走到 B 的正下方。这一段是横向差 x₂ − x₁。然后笔直向上走到 B，这一段是纵向差 y₂ − y₁。两段路成直角，所以 AB 是直角三角形的斜边。
由勾股定理：AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]。
差是负数也没关系，因为平方之后一定是正数。点 P(x, y) 到原点的距离是 √(x² + y²)。
距离公式的用途
- 判断三点共线：如果两条短的距离相加等于最长的距离，三点就在同一条直线上。
- 判断三角形的类型：算出三条边。有两边相等是等腰三角形，三边相等是等边三角形；如果 a² + b² = c²，就是直角三角形。
- 到两点距离相等的点：如果 P 到 A 和 B 一样远，就写 PA = PB，两边平方后解方程。
分点公式 (内分点)
点 P 在线段 AB 上，位于 A 和 B 之间。如果 AP : PB = m : n，我们就说 P 把 AB 按 m : n 内分。
把 AB 想成被切成 m + n 等份。P 离 A 有 m 份，也就是说 P 从 A 走向 B 的 m/(m + n) 处。于是得到
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
为什么对：在 AP 和 PB 下面各画一个小直角三角形。它们的角相同，所以是相似三角形，它们的边长差之比就是 m : n。(见 相似三角形。)
中点公式
如果 m = n，P 就是中点：((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。也就是把两个 x 取平均，两个 y 也取平均。
求比值
如果比值未知，就设为 k : 1。把它代入公式，和已知的 x (或 y) 比较，解出 k。要找 x 轴把 AB 分成什么比，令 y = 0。
三等分点
有两个点把 AB 分成三等份。它们分别按 1 : 2 和 2 : 1 分 AB。
自己动手试试 (实践)
在家里：在有地砖的地板上用胶带贴两条线，当作 x 轴和 y 轴。你站在 (1, 1) 这块砖上。把一只拖鞋放在 (4, 5) 这块砖上。数一数：横着 3 块，竖着 4 块。再拉一根绳子，从你拉直到拖鞋，用砖的宽度来量：正好是 5。这样你就亲手验证了距离公式。
在 3D 里：走到最后一步。把 B 设为 (7, 1)，把 m : n 设为 1 : 1。先猜 P 的位置，再去看结果。(答案：(4, 1)，就是中点。)
重点公式和概念
- 距离 AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- 到原点的距离 = √(x² + y²)
- 分点公式 (m : n，内分)：P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- 中点 = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- 比值未知：设为 k : 1，再解出 k
例题讲解
1. 求 A(1, 1) 和 B(4, 5) 之间的距离。
横向差 = 4 − 1 = 3。纵向差 = 5 − 1 = 4。AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 个单位。
2. 求点 P(−6, 8) 到原点的距离。
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 个单位。
3. 求 A(2, −3) 和 B(6, 7) 的中点。
x = (2 + 6)/2 = 4。y = (−3 + 7)/2 = 2。中点 = (4, 2)。
4. 求把 A(1, 1) 和 B(7, 4) 按 2 : 1 内分的点。
m = 2，n = 1。x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5。y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3。P = (5, 3)。
5. 点 A(1, 2)、B(3, 6)、C(4, 8) 在同一条直线上吗？
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5。BC = √(1 + 4) = √5。AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5。AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC。所以三点共线。
6. 求 x 轴上到 A(2, −5) 和 B(−2, 9) 距离相等的点。
设点为 P(x, 0)。PA² = PB²：(x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81。x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81。−8x = 56，所以 x = −7。P = (−7, 0)。
7. 点 (−1, 6) 把 A(−3, 10) 和 B(6, −8) 的连线按什么比内分？
设比值为 k : 1。x = (6k − 3)/(k + 1) = −1。所以 6k − 3 = −k − 1，7k = 2，k = 2/7。比值 = 2 : 7。检验 y：(−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓。
8. 求线段 AB 的三等分点，其中 A(2, −2)，B(−7, 4)。
P 按 1 : 2 分 AB：P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0)。Q 按 2 : 1 分 AB：Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2)。
常见错误
- 最后忘了开根号：√25 = 5，不是 25。
- 分点公式里把 m 和 n 弄反。m 配第二个点 (x₂)，n 配第一个点 (x₁)。
- 距离公式里写成 (x₂ + x₁) 而不是 (x₂ − x₁)。距离用的是差，所以要相减。
- 负数的差平方算错：(−3)² = 9，不是 −9。