У точки есть адрес: (x, y)
Нарисуй две числовые прямые, которые пересекаются под прямым углом. Горизонтальная это ось x. Вертикальная это ось y. Они встречаются в начале координат O(0, 0).
У каждой точки два числа. Первое число (x, его называют абсциссой) говорит, насколько идти вправо или влево. Второе число (y, его называют ординатой) говорит, насколько идти вверх или вниз. Значит, (3, 2) это 3 вправо, потом 2 вверх.
Формула расстояния
Возьми A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Иди от A прямо вбок, пока не окажешься под B. Этот путь это разница по x, x₂ − x₁. Потом иди прямо вверх до B. Этот путь это разница по y, y₂ − y₁. Два пути встречаются под прямым углом, поэтому AB это гипотенуза прямоугольного треугольника.
По Пифагору: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Отрицательная разница не мешает, потому что при возведении в квадрат она становится положительной. Расстояние от точки P(x, y) до начала координат равно √(x² + y²).
Где работает формула расстояния
- Проверка на одну прямую: три точки лежат на одной прямой, если сумма двух малых расстояний равна большому.
- Вид треугольника: найди все три стороны. Равные стороны говорят о равнобедренном или равностороннем треугольнике; если a² + b² = c², он прямоугольный.
- Равноудалённая точка: если P одинаково далеко от A и B, запиши PA = PB, возведи обе части в квадрат и реши.
Формула деления отрезка (внутреннее деление)
Точка P лежит на отрезке AB, между A и B. Если AP : PB = m : n, говорят, что P делит AB внутренним образом в отношении m : n.
Представь, что AB разрезан на m + n равных частей. P стоит в m частях от A. Значит, P проходит m/(m + n) пути от A к B. Отсюда
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Почему это работает: нарисуй маленькие прямоугольные треугольники под AP и под PB. У них одинаковые углы, поэтому они подобны, и их катеты относятся как m : n. (См. Подобные треугольники.)
Формула середины отрезка
Если m = n, то P это середина: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Просто возьми среднее всех x и среднее всех y.
Как найти отношение
Если отношение неизвестно, назови его k : 1. Подставь в формулу, сравни с данным x (или y) и найди k. Чтобы узнать, где ось x делит AB, положи y = 0.
Точки, делящие отрезок на три части
Две точки делят AB на три равные части. Они делят AB в отношениях 1 : 2 и 2 : 1.
Попробуй сам (практика)
Дома: Наклей на плиточный пол две ленты как оси x и y. Встань на плитку (1, 1). Положи тапок на плитку (4, 5). Посчитай 3 плитки вбок и 4 плитки вверх. Теперь натяни верёвку прямо от себя до тапка и измерь её в ширинах плитки: получится 5. Ты только что проверил формулу расстояния.
В 3D: перейди к последнему шагу. Поставь B в (7, 1) и m : n равным 1 : 1. Угадай P до того, как посмотришь. (Ответ: (4, 1), середина.)
Главные формулы и определения
- Расстояние AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Расстояние до начала координат = √(x² + y²)
- Формула деления (m : n, внутреннее): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Середина = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Отношение неизвестно: возьми k : 1 и найди k
Разобранные примеры
1. Найди расстояние между A(1, 1) и B(4, 5).
Разница по x = 4 − 1 = 3. Разница по y = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 единиц.
2. Найди расстояние от P(−6, 8) до начала координат.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 единиц.
3. Найди середину отрезка с концами A(2, −3) и B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Середина = (4, 2).
4. Найди точку, которая делит отрезок AB, где A(1, 1) и B(7, 4), внутренним образом в отношении 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. Лежат ли точки A(1, 2), B(3, 6) и C(4, 8) на одной прямой?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Значит, да, они лежат на одной прямой.
6. Найди точку на оси x, одинаково удалённую от A(2, −5) и B(−2, 9).
Точка имеет вид P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, значит x = −7. P = (−7, 0).
7. В каком отношении точка (−1, 6) делит отрезок с концами A(−3, 10) и B(6, −8)?
Возьми отношение k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Значит 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Отношение = 2 : 7. Проверим y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Найди точки, делящие отрезок с концами A(2, −2) и B(−7, 4) на три равные части.
P делит AB в отношении 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q делит AB в отношении 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Частые ошибки
- Забыть корень в конце: √25 = 5, а не 25.
- Поменять местами m и n в формуле деления. m идёт со второй точкой (x₂), n с первой точкой (x₁).
- Написать (x₂ + x₁) вместо (x₂ − x₁) в формуле расстояния. Расстояние использует разницу, поэтому вычитай.
- Неправильно возвести в квадрат отрицательную разницу: (−3)² = 9, а не −9.