점에는 주소가 있습니다: (x, y)
직각으로 만나는 수직선 두 개를 그려 봅시다. 누워 있는 것이 x축이고 서 있는 것이 y축입니다. 둘이 만나는 점이 원점 O(0, 0)입니다.
모든 점은 숫자 두 개로 나타냅니다. 첫 번째 수(x, x좌표)는 오른쪽이나 왼쪽으로 얼마나 가는지를 알려 줍니다. 두 번째 수(y, y좌표)는 위나 아래로 얼마나 가는지를 알려 줍니다. 그래서 (3, 2)는 오른쪽으로 3, 위로 2를 뜻합니다.
두 점 사이의 거리 공식
A(x₁, y₁)와 B(x₂, y₂)가 있다고 합시다. A에서 B의 바로 아래까지 옆으로 걸어갑니다. 이 길이가 x 차이 x₂ − x₁입니다. 그다음 B까지 곧장 올라갑니다. 이 길이가 y 차이 y₂ − y₁입니다. 두 길은 직각으로 만나므로 AB는 직각삼각형의 빗변입니다.
피타고라스 정리에 따라 AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]입니다.
차이가 음수여도 괜찮습니다. 제곱하면 양수가 되기 때문입니다. 점 P(x, y)와 원점 사이의 거리는 √(x² + y²)입니다.
거리 공식 활용하기
- 세 점이 한 직선 위에 있는지 확인: 짧은 두 거리를 더한 값이 가장 긴 거리와 같으면 한 직선 위에 있습니다.
- 삼각형의 종류: 세 변을 모두 구합니다. 같은 변이 있으면 이등변삼각형이나 정삼각형이고, a² + b² = c²이면 직각삼각형입니다.
- 같은 거리에 있는 점: P가 A와 B에서 같은 거리에 있으면 PA = PB라고 쓰고 양변을 제곱해서 풉니다.
내분점 공식 (안쪽으로 나누기)
점 P가 선분 AB 위, A와 B 사이에 있습니다. AP : PB = m : n이면 P가 AB를 m : n으로 내분한다고 말합니다.
AB를 m + n개의 같은 조각으로 자른다고 생각해 보세요. P는 A에서 m조각 떨어져 있습니다. 즉 P는 A에서 B로 가는 길의 m/(m + n)만큼 간 곳입니다. 그래서
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
이 공식이 맞는 이유: AP와 PB 아래에 작은 직각삼각형을 그려 보세요. 두 삼각형은 각이 같아서 닮음이고, 변의 길이 차이의 비가 m : n입니다. (닮은 삼각형 참고)
중점 공식
m = n이면 P는 중점입니다. ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). x끼리, y끼리 평균을 내면 됩니다.
비를 구하기
비를 모르면 k : 1이라고 둡니다. 공식에 넣고 주어진 x(또는 y)와 비교해서 k를 구합니다. x축이 AB를 어떻게 나누는지 알려면 y = 0으로 놓습니다.
삼등분점
AB를 세 개의 같은 부분으로 나누는 점은 두 개입니다. 이 점들은 AB를 1 : 2와 2 : 1로 나눕니다.
직접 해 보기 (실습)
집에서: 타일 바닥에 테이프로 선 두 개를 붙여 x축과 y축으로 삼습니다. 타일 (1, 1)에 서고, 슬리퍼를 타일 (4, 5)에 놓습니다. 옆으로 3칸, 위로 4칸을 세어 보세요. 이제 나에게서 슬리퍼까지 줄을 곧게 당겨 타일 너비로 재 보면 5입니다. 거리 공식을 직접 확인한 것입니다.
3D에서: 마지막 단계로 가 보세요. B를 (7, 1)로, m : n을 1 : 1로 놓습니다. 보기 전에 P를 먼저 예상해 보세요. (답: (4, 1), 중점입니다.)
핵심 공식과 정의
- 거리 AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- 원점으로부터의 거리 = √(x² + y²)
- 내분점 공식 (m : n): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- 중점 = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- 비를 모를 때: k : 1로 놓고 k를 구한다
풀이 예제
1. A(1, 1)과 B(4, 5) 사이의 거리를 구하시오.
x 차이 = 4 − 1 = 3. y 차이 = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 units.
2. P(−6, 8)에서 원점까지의 거리를 구하시오.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 units.
3. A(2, −3)과 B(6, 7)의 중점을 구하시오.
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. 중점 = (4, 2).
4. A(1, 1)과 B(7, 4)를 2 : 1로 내분하는 점을 구하시오.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. 세 점 A(1, 2), B(3, 6), C(4, 8)은 한 직선 위에 있는가?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. 따라서 한 직선 위에 있습니다.
6. A(2, −5)와 B(−2, 9)에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점을 구하시오.
구하는 점을 P(x, 0)이라 하자. PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, 따라서 x = −7. P = (−7, 0).
7. 점 (−1, 6)은 A(−3, 10)과 B(6, −8)을 잇는 선분을 어떤 비로 나누는가?
비를 k : 1이라 하자. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. 그러면 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. 비 = 2 : 7. y로 확인: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. A(2, −2)와 B(−7, 4)를 잇는 선분의 삼등분점을 구하시오.
P는 AB를 1 : 2로 나눈다: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q는 AB를 2 : 1로 나눈다: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
자주 하는 실수
- 마지막에 제곱근을 빼먹기: √25 = 5이지 25가 아닙니다.
- 내분점 공식에서 m과 n을 바꿔 쓰기. m은 두 번째 점(x₂)에, n은 첫 번째 점(x₁)에 붙습니다.
- 거리 공식에서 (x₂ − x₁) 대신 (x₂ + x₁)을 쓰기. 거리는 차이를 쓰므로 빼야 합니다.
- 음수 차이를 잘못 제곱하기: (−3)² = 9이지 −9가 아닙니다.