点には住所がある：(x, y)
直角に交わる2本の数直線を描こう。横の線が x軸、縦の線が y軸で、2本は原点 O(0, 0) で交わる。
どの点にも2つの数がある。1つ目の数（x、x座標）は右か左へどれだけ進むかを表す。2つ目の数（y、y座標）は上か下へどれだけ進むかを表す。だから (3, 2) は「右に3、上に2」という意味だ。
2点間の距離の公式
A(x₁, y₁) と B(x₂, y₂) を考える。A から B の真下まで横に進む。その長さが x方向の差 x₂ − x₁ だ。次に B まで真上に進む。その長さが y方向の差 y₂ − y₁ だ。2つの道は直角に交わるので、AB は直角三角形の斜辺になる。
ピタゴラスの定理から AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]。
差がマイナスになっても気にしなくてよい。2乗すればプラスになるからだ。点 P(x, y) と原点の距離は √(x² + y²) になる。
距離の公式の使いみち
- 一直線上にあるかの確認：3点が一直線上にあるのは、短い2つの距離の和が一番長い距離に等しいときだ。
- 三角形の種類：3辺の長さを求める。等しい辺があれば二等辺三角形か正三角形。a² + b² = c² なら直角三角形だ。
- 等しい距離の点：P が A と B から同じ距離なら、PA = PB と書き、両辺を2乗して解く。
内分点の公式（内側で分ける場合）
点 P が線分 AB の上、A と B のあいだにあるとする。AP : PB = m : n のとき、P は AB を m : n に内分するという。
AB を m + n 個の等しい長さに分けたと考えよう。P は A から m 個分のところにある。つまり P は A から B へ向かう道のりの m/(m + n) だけ進んだ点だ。すると
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
なぜこうなるのか：AP の下と PB の下に小さな直角三角形を描く。角が同じなので2つは相似で、差の比は m : n になる。（相似な三角形を見よう。）
中点の公式
m = n のとき P は中点で、((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) になる。x どうし、y どうしの平均をとるだけだ。
比を求めるとき
比がわからないときは k : 1 とおく。公式に入れ、与えられた x（または y）と等しいとおいて k を解く。x軸が AB を切る点を求めるなら y = 0 とおく。
三等分点
AB を3等分する点は2つある。AB を 1 : 2 と 2 : 1 に分ける点だ。
自分で試そう（実践）
家で：タイル張りの床にテープを2本貼り、x軸とy軸にする。タイル (1, 1) に立ち、タイル (4, 5) にスリッパを置く。横に3マス、縦に4マス数える。次に、自分からスリッパまでひもをまっすぐ張り、タイルの幅で長さを測ろう。5になる。これで距離の公式を確かめられた。
3Dで：最後のステップに進もう。B を (7, 1)、m : n を 1 : 1 にする。見る前に P を予想しよう。（答え：(4, 1)、つまり中点。）
重要な公式と用語
- 距離 AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- 原点からの距離 = √(x² + y²)
- 内分点の公式（m : n）：P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- 中点 = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- 比がわからないとき：k : 1 とおいて k を解く
例題
1. A(1, 1) と B(4, 5) の距離を求めよ。
x方向の差 = 4 − 1 = 3。y方向の差 = 5 − 1 = 4。AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 units。
2. P(−6, 8) と原点の距離を求めよ。
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 units。
3. A(2, −3) と B(6, 7) の中点を求めよ。
x = (2 + 6)/2 = 4。y = (−3 + 7)/2 = 2。中点 = (4, 2)。
4. A(1, 1) と B(7, 4) を 2 : 1 に内分する点を求めよ。
m = 2、n = 1。x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5。y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3。P = (5, 3)。
5. 3点 A(1, 2)、B(3, 6)、C(4, 8) は一直線上にあるか。
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5。BC = √(1 + 4) = √5。AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5。AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC。よって一直線上にある。
6. A(2, −5) と B(−2, 9) から等しい距離にある x軸上の点を求めよ。
点を P(x, 0) とおく。PA² = PB² より (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81。x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81。−8x = 56 なので x = −7。P = (−7, 0)。
7. 点 (−1, 6) は A(−3, 10) と B(6, −8) を結ぶ線分をどんな比に分けるか。
比を k : 1 とおく。x = (6k − 3)/(k + 1) = −1。よって 6k − 3 = −k − 1、7k = 2、k = 2/7。比 = 2 : 7。y で確認：(−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓。
8. A(2, −2) と B(−7, 4) を結ぶ線分の三等分点を求めよ。
P は AB を 1 : 2 に分ける：P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0)。Q は AB を 2 : 1 に分ける：Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2)。
よくある間違い
- 最後のルートを忘れる。√25 = 5 であって 25 ではない。
- 内分点の公式で m と n を入れ替える。m は2つ目の点 (x₂) に、n は1つ目の点 (x₁) にかける。
- 距離の公式で (x₂ − x₁) とすべきところを (x₂ + x₁) と書く。距離は差を使うので引き算だ。
- マイナスの差の2乗を間違える。(−3)² = 9 であって −9 ではない。