Punten hebben een adres: (x, y)
Teken twee getallenlijnen die elkaar in een rechte hoek kruisen. De liggende is de x-as. De staande is de y-as. Ze ontmoeten elkaar in de oorsprong O(0, 0).
Elk punt heeft twee getallen. Het eerste getal (x, de abscis) zegt hoe ver je naar rechts of links gaat. Het tweede getal (y, de ordinaat) zegt hoe ver je omhoog of omlaag gaat. Dus (3, 2) betekent 3 naar rechts en dan 2 omhoog.
Afstandsformule
Neem A(x₁, y₁) en B(x₂, y₂). Loop vanaf A recht opzij tot je onder B staat. Dat stuk is het x-verschil, x₂ − x₁. Loop dan recht omhoog naar B. Dat stuk is het y-verschil, y₂ − y₁. De twee stukken maken een rechte hoek, dus AB is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.
Met Pythagoras: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Een negatief verschil geeft niets, want kwadrateren maakt het positief. De afstand van P(x, y) tot de oorsprong is √(x² + y²).
De afstandsformule gebruiken
- Op één lijn? Drie punten liggen op één lijn als de twee kleine afstanden samen de grote afstand zijn.
- Soort driehoek: bereken alle drie de zijden. Gelijke zijden betekenen gelijkbenig of gelijkzijdig; als a² + b² = c², is de driehoek rechthoekig.
- Even ver van twee punten: als P even ver van A als van B ligt, schrijf PA = PB, kwadrateer beide kanten en los op.
Deelpuntformule (inwendige deling)
Een punt P ligt op lijnstuk AB, tussen A en B. Als AP : PB = m : n, zeggen we dat P AB inwendig verdeelt in de verhouding m : n.
Denk dat AB in m + n gelijke stukken is gesneden. P ligt m stukken van A. Dus P gaat m/(m + n) van de weg van A naar B. Dat geeft
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Waarom het klopt: teken kleine rechthoekige driehoeken onder AP en PB. Ze hebben dezelfde hoeken, dus ze zijn gelijkvormig en hun verschillen staan in de verhouding m : n. (Zie Gelijkvormige driehoeken.)
Middelpuntformule
Als m = n, is P het midden: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Neem gewoon het gemiddelde van de x'en en van de y's.
De verhouding vinden
Is de verhouding niet bekend, noem hem dan k : 1. Vul hem in de formule in, vergelijk met de gegeven x (of y) en los k op. Wil je weten waar de x-as AB snijdt, neem dan y = 0.
Drieverdelingspunten
Twee punten snijden AB in drie gelijke delen. Ze verdelen AB in 1 : 2 en 2 : 1.
Probeer het zelf (praktijk)
Thuis: Plak twee stroken tape op een tegelvloer als x-as en y-as. Ga op tegel (1, 1) staan. Leg een pantoffel op tegel (4, 5). Tel 3 tegels opzij en 4 tegels omhoog. Span nu een touwtje recht van jou naar de pantoffel en meet het in tegelbreedtes: het is 5. Je hebt zojuist de afstandsformule gecontroleerd.
In de 3D: ga naar de laatste stap. Zet B op (7, 1) en m : n op 1 : 1. Voorspel P voordat je kijkt. (Antwoord: (4, 1), het midden.)
Belangrijke formules en begrippen
- Afstand AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Afstand tot de oorsprong = √(x² + y²)
- Deelpuntformule (m : n, inwendig): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Midden = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Verhouding onbekend: neem k : 1 en los k op
Uitgewerkte voorbeelden
1. Bereken de afstand tussen A(1, 1) en B(4, 5).
x-verschil = 4 − 1 = 3. y-verschil = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 eenheden.
2. Bereken de afstand van P(−6, 8) tot de oorsprong.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 eenheden.
3. Bereken het midden van A(2, −3) en B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Midden = (4, 2).
4. Bereken het punt dat A(1, 1) en B(7, 4) inwendig verdeelt in de verhouding 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. Liggen de punten A(1, 2), B(3, 6) en C(4, 8) op één rechte lijn?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Dus ja, ze liggen op één lijn.
6. Bereken het punt op de x-as dat even ver van A(2, −5) en B(−2, 9) ligt.
Het punt is P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, dus x = −7. P = (−7, 0).
7. In welke verhouding verdeelt het punt (−1, 6) het lijnstuk van A(−3, 10) naar B(6, −8)?
Neem de verhouding k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Dus 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Verhouding = 2 : 7. Controle met y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Bereken de drieverdelingspunten van het lijnstuk van A(2, −2) naar B(−7, 4).
P verdeelt AB in 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q verdeelt AB in 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Veelgemaakte fouten
- De wortel aan het eind vergeten: √25 = 5, niet 25.
- m en n verwisselen in de deelpuntformule. m hoort bij het tweede punt (x₂), n bij het eerste punt (x₁).
- (x₂ + x₁) schrijven in plaats van (x₂ − x₁) in de afstandsformule. Afstand gebruikt het verschil, dus trek af.
- Een negatief verschil verkeerd kwadrateren: (−3)² = 9, niet −9.