O que é uma função linear?
Uma função é uma regra que dá exatamente uma saída para cada entrada. Chamamos a entrada de x e a saída de y (ou f(x)).
Uma função é linear quando y muda pela mesma quantidade cada vez que x aumenta 1. Essa mudança fixa é a taxa de variação.
Toda função linear pode ser escrita como y = mx + c. Alguns livros escrevem f(x) = mx + b ou y = ax + b. Significam a mesma coisa.
- Quando c = 0, a função é y = mx. Sua reta passa pela origem (0, 0). Isso é proporcionalidade direta.
- Quando c não é 0, alguns livros chamam de função afim.
Tabelas, gráficos e regras
Uma função linear pode ser mostrada de quatro jeitos:
- Em palavras: "dobre o número e some 1".
- Regra: y = 2x + 1.
- Tabela: x = 0, 1, 2, 3 dá y = 1, 3, 5, 7. Os valores de y sobem 2 a cada vez.
- Gráfico: marque (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) e ligue os pontos. Você obtém uma reta.
Teste pela tabela: se x aumenta em passos iguais e as diferenças de y são todas iguais, a função é linear.
Inclinação e interceptos
Inclinação m
m = subida ÷ avanço = (variação de y) ÷ (variação de x) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- m > 0: a reta sobe da esquerda para a direita (crescente).
- m < 0: a reta desce (decrescente).
- m = 0: a reta é horizontal, y = c (função constante).
- Quanto maior |m|, mais íngreme é a reta.
Interceptos
Intercepto no eixo y: faça x = 0, então y = c. O ponto é (0, c).
Intercepto no eixo x (o zero ou raiz): faça y = 0 e resolva 0 = mx + c, então x = −c ÷ m.
Retas paralelas
Retas com a mesma inclinação nunca se encontram: são paralelas.
Achando a regra e resolvendo problemas reais
A partir de dois pontos: ache m com a fórmula da inclinação e depois coloque um dos pontos em y = mx + c para achar c.
A partir de uma história: o valor fixo inicial é c (valor inicial); o valor por unidade é m (taxa).
É linear ou não? y = 3x − 4 é linear. y = x², y = 1/x e y = 2ˣ não são: seus gráficos são curvos e as diferenças de y não são iguais.
Resolvendo: para saber quando uma função linear chega a um valor, iguale y a esse valor e resolva a equação. Duas retas se cruzam onde as duas regras dão o mesmo y.
Fórmulas e definições principais
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = subida ÷ avanço = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- Intercepto no eixo y: (0, c)
- Intercepto no eixo x: x = −c ÷ m
- Retas paralelas: mesmo m
- Proporcionalidade direta: y = mx (c = 0)
Exemplos resolvidos
1. Para y = 3x − 2, faça uma tabela com x = 0, 1, 2, 3.
x = 0: y = −2. x = 1: y = 1. x = 2: y = 4. x = 3: y = 7. Os valores de y sobem 3 a cada vez, e esse é o valor da inclinação.
2. Ache a inclinação e o intercepto no eixo y de y = −4x + 9.
Compare com y = mx + c: m = −4 (a reta desce), c = 9, então ela corta o eixo y em (0, 9).
3. Ache a inclinação da reta que passa por (1, 3) e (4, 12).
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3.
4. Ache a equação da reta que passa por (2, 5) e (6, 13).
Passo 1: m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Passo 2: coloque (2, 5) em y = 2x + c: 5 = 4 + c, então c = 1. Resposta: y = 2x + 1.
5. Ache o intercepto no eixo x de y = 4x − 10.
Faça y = 0: 0 = 4x − 10, então 4x = 10 e x = 2.5. A reta corta o eixo x em (2.5, 0).
6. Um táxi cobra 50 fixos mais 12 por km. Escreva a regra e ache o custo de 8 km. Que distância dá para percorrer com 170?
Custo y = 12x + 50. Para 8 km: 12 × 8 + 50 = 146. Para 170: 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km.
7. O plano A custa 100 + 5 por GB; o plano B custa 20 por GB. Quando os dois custam o mesmo?
100 + 5x = 20x, então 100 = 15x e x ≈ 6.67 GB. Abaixo disso, B é mais barato; acima disso, A é mais barato.
Erros comuns
- Escrever a inclinação como avanço ÷ subida. É subida ÷ avanço: a variação de y fica em cima.
- Misturar a ordem: (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Faça as duas diferenças na mesma ordem.
- Achar que c é onde a reta corta o eixo x. c é o intercepto no eixo y; o intercepto no eixo x é −c ÷ m.
- Chamar y = x² de linear só porque tem x. Uma regra linear tem x apenas com expoente 1 e dá uma reta.