O que é uma equação do 1º grau com uma incógnita?
Uma equação é uma frase matemática que diz que duas coisas são iguais. Ela tem um sinal de igual (=).
Uma variável (ou incógnita) é uma letra, como x, que representa um número que ainda não conhecemos.
Uma equação é do 1º grau (linear) quando a variável tem potência 1. Então 2x + 3 = 11 é do 1º grau. Já x² = 9 não é.
A solução (ou raiz) é o número que deixa os dois lados iguais. Em 2x + 3 = 11, a solução é x = 4.
Forma geral: ax + b = 0, com a ≠ 0. Uma equação do 1º grau com uma incógnita tem exatamente uma solução.
O método da balança
Pense no sinal de igual como o meio de uma balança. Você pode fazer qualquer uma destas coisas nos dois lados e ela continua equilibrada:
- somar o mesmo número
- subtrair o mesmo número
- multiplicar pelo mesmo número
- dividir pelo mesmo número diferente de zero
Objetivo: deixar x sozinho de um lado.
Passar para o outro lado (atalho)
Mudar um termo de lado trocando o sinal se chama transposição. É só o método da balança escrito mais rápido.
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5. (+7 virou −7.)
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6. (× 3 virou ÷ 3.)
Equações mais difíceis
Variável nos dois lados
Junte todos os termos com x de um lado e todos os números do outro. 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5.
Parênteses
Abra os parênteses primeiro. 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. Ou divida os dois lados por 3 logo no começo: x − 2 = 4 → x = 6.
Frações
Multiplique os dois lados pelo MMC dos denominadores para eliminar as frações. x/2 + x/3 = 10 → multiplique por 6 → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.
Equações que viram do 1º grau
(x + 1)/(x − 2) = 3/2. Multiplique em cruz: 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8. (x não pode ser 2, porque não dá para dividir por zero.)
Casos especiais
Se o x some e você chega a uma frase verdadeira, como 4 = 4, qualquer número serve (uma identidade). Se chega a uma frase falsa, como 4 = 7, não há solução.
Problemas: da história para a equação
- Leia com atenção. O que é desconhecido? Chame de x (escreva: "Seja x = …").
- Escreva as outras quantidades usando x.
- Ache a frase que diz que duas coisas são iguais. Monte a equação.
- Resolva.
- Confira a resposta na história e escreva com a unidade.
Exemplo: um retângulo tem comprimento 4 m maior que a largura. Seu perímetro é 32 m. Seja largura = x. Comprimento = x + 4. 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6. Largura 6 m, comprimento 10 m.
Tipos comuns: idades, números consecutivos, perímetro, dinheiro e moedas, velocidade–distância–tempo, porcentagem.
Fórmulas e definições principais
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- Passar para o outro lado: + ↔ −, × ↔ ÷
- Eliminar frações: multiplique os dois lados pelo MMC
- Conferir: coloque x de volta nos dois lados
Exemplos resolvidos
1. Resolva x − 9 = 4.
Some 9 aos dois lados: x = 4 + 9 = 13. Conferência: 13 − 9 = 4 ✓.
2. Resolva 4x + 5 = 29.
Subtraia 5: 4x = 24. Divida por 4: x = 6. Conferência: 4 × 6 + 5 = 29 ✓.
3. Resolva 7x − 3 = 4x + 12.
Subtraia 4x: 3x − 3 = 12. Some 3: 3x = 15. Divida por 3: x = 5. Conferência: 32 = 32 ✓.
4. Resolva 2(3x − 1) = 5(x + 2).
Abra os parênteses: 6x − 2 = 5x + 10. Subtraia 5x: x − 2 = 10. Então x = 12. Conferência: 2 × 35 = 70 e 5 × 14 = 70 ✓.
5. Resolva x/4 − 1 = x/6.
O MMC de 4 e 6 é 12. Multiplique por 12: 3x − 12 = 2x. Então x = 12. Conferência: 3 − 1 = 2 ✓.
6. A soma de três números consecutivos é 72. Ache os números.
Sejam x, x + 1, x + 2. 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Números: 23, 24, 25.
7. Uma mãe tem 3 vezes a idade do filho. Daqui a 12 anos ela terá o dobro da idade dele. Ache as idades de hoje.
Filho = x, mãe = 3x. Daqui a 12 anos: 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12. Filho 12 anos, mãe 36 anos.
Erros comuns
- Fazer um passo em um lado só. Se você subtrai 3 na esquerda, subtraia 3 na direita também.
- Esquecer de trocar o sinal ao passar para o outro lado: x + 5 = 9 dá x = 9 − 5, e não 9 + 5.
- Multiplicar só o primeiro termo dentro do parêntese: 3(x − 2) é 3x − 6, e não 3x − 2.
- Eliminar as frações mas esquecer de multiplicar também os números inteiros: em x/2 + 1 = 4, multiplicar por 2 dá x + 2 = 8.