O que é uma função exponencial?
Uma função exponencial tem a variável no expoente: y = a · bˣ. Aqui a é o valor inicial e b é a base, também chamada de fator de crescimento. Precisamos de b > 0 e b ≠ 1.
Numa tabela, quando x aumenta 1, y é multiplicado sempre pelo mesmo número b. Ou seja, a razão (próximo y ÷ y atual) é constante. É assim que você reconhece uma relação exponencial nos dados.
As regras de potência ajudam a simplificar: bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b.
Gráfico, domínio, imagem e assíntota
Para y = bˣ:
- Passa por (0, 1), porque b⁰ = 1.
- Domínio: todos os números reais. Imagem: y > 0.
- O eixo x (y = 0) é uma assíntota horizontal: a curva chega perto, mas nunca toca.
- b > 1: crescente (crescimento). 0 < b < 1: decrescente (decaimento).
- Não há raiz (intercepto em x); o intercepto em y é 1 (ou a, em y = a·bˣ).
Linear, quadrática ou exponencial? Use as diferenças
Olhe uma tabela com passos iguais em x:
- Primeiras diferenças constantes → linear.
- Segundas diferenças constantes → quadrática.
- Razões constantes (e as diferenças continuam crescendo na mesma razão) → exponencial.
O crescimento exponencial é lento no começo, mas, a longo prazo, supera qualquer função linear ou quadrática.
Transformações: y = a·b^(k(x − d)) + c
- a: esticamento vertical (|a| > 1) ou compressão (|a| < 1); a < 0 reflete no eixo x.
- k: compressão horizontal por 1/|k|; k < 0 reflete no eixo y.
- d: desloca d unidades para a direita (para a esquerda se d for negativo).
- c: desloca c unidades para cima. A assíntota passa para y = c e a imagem vira y > c (se a > 0).
Ordem de aplicação: primeiro esticamentos e reflexões, depois os deslocamentos. Para cada ponto (x, y) de y = bˣ, o novo ponto é (x/k + d, a·y + c).
Resolvendo problemas: crescimento, decaimento e dados
- Crescimento de r %: A = P(1 + r)ᵗ. Juros compostos n vezes por ano: A = P(1 + r/n)ⁿᵗ.
- Dobro: N = N₀ · 2^(t/T), T = tempo para dobrar.
- Meia-vida: A = A₀ · (½)^(t/h), h = meia-vida.
- Decaimento de r %: A = P(1 − r)ᵗ (por exemplo, o valor de um carro ou o resfriamento).
Para modelar dados: confira se as razões são mais ou menos constantes, ache a pelo valor inicial e b pela razão média, ou use uma ferramenta gráfica para fazer a regressão exponencial. Para ler respostas no gráfico, veja onde a curva chega a um certo valor de y.
Experimente: dobre uma folha de papel ao meio, de novo e de novo. Conte as camadas: 1, 2, 4, 8, 16... Depois de 7 dobras, você tem 128 camadas. Isso é 2ᵗ.
Fórmulas e definições principais
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (assíntota y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ crescimento; A = P(1 − r)ᵗ decaimento
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ juros compostos
- A = A₀ (½)^(t/h) meia-vida; N = N₀ · 2^(t/T) dobro
Exemplos resolvidos
1. Esta tabela é linear, quadrática ou exponencial? x: 0,1,2,3; y: 5, 15, 45, 135.
Diferenças: 10, 30, 90 (não são constantes). Razões: 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → razão constante. É exponencial: y = 5·3ˣ.
2. Dê o domínio, a imagem, a assíntota e o intercepto em y de y = 2·3ˣ − 4.
Domínio: todos os x reais. a = 2 > 0 e c = −4, então a imagem é y > −4. Assíntota y = −4. Intercepto em y: x = 0 → 2·1 − 4 = −2.
3. Descreva as transformações de y = 2ˣ que dão y = −3·2^(x − 1) + 5.
a = −3: esticamento vertical por 3 e reflexão no eixo x. d = 1: deslocamento de 1 para a direita. c = 5: deslocamento de 5 para cima. Nova assíntota y = 5, imagem y < 5.
4. ₹10,000 (ou qualquer moeda) são investidos a 8 % ao ano, com juros compostos anuais. Ache o montante após 5 anos.
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵. 1.08² = 1.1664; 1.08⁴ = 1.3605; ×1.08 = 1.4693. A ≈ 14,693.
5. Uma amostra radioativa de 80 g tem meia-vida de 6 dias. Quanto sobra após 18 dias?
Número de meias-vidas = 18 ÷ 6 = 3. A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g.
6. Uma cultura de bactérias começa com 200 células e dobra a cada 3 horas. Quando chegará a 6400 células?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3). 32 = 2⁵, então t/3 = 5 → t = 15 horas.
Erros comuns
- Escrever 2·3ˣ como 6ˣ. O expoente vale só para a base 3: 2·3² = 18, mas 6² = 36.
- Achar que o gráfico cruza o eixo x. y = a·bˣ com a > 0 é sempre positivo; o eixo x é uma assíntota.
- Usar r = 8 em vez de 0.08 em (1 + r)ᵗ. Transforme a porcentagem em decimal primeiro.
- Trocar o sinal de d: y = 2^(x − 3) vai para a DIREITA 3, não para a esquerda.