什么是指数函数？
指数函数的特点是变量在指数的位置：y = a · bˣ。其中 a 是起始值，b 叫做底数，也叫增长因子。要求 b > 0 且 b ≠ 1。
在表格里，x 每增加 1，y 就乘以同一个数 b。也就是说，后一个 y ÷ 前一个 y 的比值是固定的。看数据时，就用这个办法判断是不是指数关系。
指数运算法则能帮我们化简：bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ，(bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ，b⁰ = 1，b⁻ⁿ = 1/bⁿ，b^(1/n) = ⁿ√b。
图像、定义域、值域和渐近线
对于 y = bˣ：
- 图像经过 (0, 1)，因为 b⁰ = 1。
- 定义域：全体实数。值域：y > 0。
- x 轴（y = 0）是水平渐近线：曲线会无限靠近它，但永远碰不到。
- b > 1：函数递增（增长）。0 < b < 1：函数递减（衰减）。
- 没有 x 轴截距；y 轴截距是 1（对于 y = a·bˣ 则是 a）。
是线性、二次还是指数？用差和比来判断
看一个 x 间隔相等的表格：
- 第一次差相同 → 线性。
- 第二次差相同 → 二次。
- 比值相同（差会按同样的倍数越变越大）→ 指数。
指数增长一开始很慢，但时间一长，会超过任何线性函数或二次函数。
图像变换：y = a·b^(k(x − d)) + c
- a：竖直方向拉伸（|a| > 1）或压缩（|a| < 1）；a < 0 时关于 x 轴翻折。
- k：水平方向压缩为原来的 1/|k|；k < 0 时关于 y 轴翻折。
- d：向右平移 d（d 为负数时向左平移）。
- c：向上平移 c。渐近线移到 y = c，值域变成 y > c（当 a > 0 时）。
变换的顺序：先拉伸和翻折，再平移。y = bˣ 上的每个点 (x, y)，变换后的新点是 (x/k + d, a·y + c)。
解题：增长、衰减和数据
- 每期增长 r %：A = P(1 + r)ᵗ。一年复利 n 次：A = P(1 + r/n)ⁿᵗ。
- 翻倍：N = N₀ · 2^(t/T)，T 是翻倍所需的时间。
- 半衰期：A = A₀ · (½)^(t/h)，h 是半衰期。
- 每期减少 r %：A = P(1 − r)ᵗ（比如汽车贬值、物体冷却）。
给数据建模时：先检查比值是不是大致相同，用起始值求 a，用平均比值求 b，也可以用绘图工具做指数回归。要从图像上读答案，就找曲线到达某个 y 值的位置。
动手试试：把一张纸一次又一次对折，数一数层数：1、2、4、8、16……折 7 次后有 128 层。这就是 2ᵗ。
重点公式和概念
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (渐近线 y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ 增长; A = P(1 − r)ᵗ 衰减
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ 复利
- A = A₀ (½)^(t/h) 半衰期; N = N₀ · 2^(t/T) 翻倍
例题讲解
1. 下面的表格是线性、二次还是指数关系？x：0, 1, 2, 3；y：5, 15, 45, 135。
差：10、30、90（不相同）。比值：15/5 = 3，45/15 = 3，135/45 = 3 → 比值相同。所以是指数关系：y = 5·3ˣ。
2. 写出 y = 2·3ˣ − 4 的定义域、值域、渐近线和 y 轴截距。
定义域：全体实数 x。a = 2 > 0，c = −4，所以值域是 y > −4。渐近线 y = −4。y 轴截距：x = 0 → 2·1 − 4 = −2。
3. 说明 y = 2ˣ 经过哪些变换得到 y = −3·2^(x − 1) + 5。
a = −3：竖直方向拉伸为原来的 3 倍，并关于 x 轴翻折。d = 1：向右平移 1。c = 5：向上平移 5。新的渐近线是 y = 5，值域是 y < 5。
4. 投入 ₹10,000（或任何货币），年利率 8 %，每年复利一次。求 5 年后的本息总额。
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵。1.08² = 1.1664；1.08⁴ = 1.3605；再 ×1.08 = 1.4693。A ≈ 14,693。
5. 一份 80 g 的放射性样品，半衰期是 6 天。18 天后还剩多少？
半衰期的次数 = 18 ÷ 6 = 3。A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g。
6. 一个细菌培养液开始有 200 个细胞，每 3 小时翻一倍。什么时候会达到 6400 个？
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3)。32 = 2⁵，所以 t/3 = 5 → t = 15 小时。
常见错误
- 把 2·3ˣ 写成 6ˣ。指数只作用在底数 3 上：2·3² = 18，而 6² = 36。
- 以为图像会穿过 x 轴。当 a > 0 时，y = a·bˣ 永远是正的，x 轴只是渐近线。
- 在 (1 + r)ᵗ 里用 r = 8 而不是 0.08。要先把百分数换成小数。
- 弄错 d 的符号：y = 2^(x − 3) 是向右平移 3，不是向左。